X sim N(mu, sigma^2)，则 PX leq mu = ().A. (1)/(5)B. (1)/(4)C. (1)/(2)D. (1)/(3)

本题考查正态分布的性质。解题思路是利用正态分布的概率密度函数的对称性来求解$P\{X \leq \mu\}$的值。

正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，其图像关于直线$x = \mu$对称。

根据概率的基本性质，对于连续型随机变量$X$，其在整个实数轴上的概率为$1$，即$P\{-\infty \lt X \lt +\infty\} = 1$。

由于正态分布的图像关于$x = \mu$对称，那么$P\{X \leq \mu\}$和$P\{X \geq \mu\}$所对应的区域面积相等，且它们的和为$P\{-\infty \lt X \lt +\infty\} = 1$。

设$P\{X \leq \mu\} = p$，则$P\{X \geq \mu\} = 1 - p$，又因为$P\{X \leq \mu\} = P\{X \geq \mu\}$，所以可得方程$p = 1 - p$。

解方程$p = 1 - p$：
移项可得$p + p = 1$，即$2p = 1$，两边同时除以$2$，解得$p = \frac{1}{2}$。

所以$P\{X \leq \mu\} = \frac{1}{2}$。