题目
一个直径 d=(19.721pm0.005),mathrm(mm)，高 h=(34.36pm0.03),mathrm(mm)，质量 M=(90.54pm0.06),mathrm(g) 的圆柱，试导出其密度的相对不确定度表达式，并计算密度的实验结果、合成标准不确定度并结果表示。
一个直径 $d=(19.721\pm0.005)\,\mathrm{mm}$，高 $h=(34.36\pm0.03)\,\mathrm{mm}$，质量 $M=(90.54\pm0.06)\,\mathrm{g}$ 的圆柱，试导出其密度的相对不确定度表达式，并计算密度的实验结果、合成标准不确定度并结果表示。
题目解答
答案
根据公式 $ \rho = \frac{4M}{\pi d^2 h} $，将 $ M = 90.54 \, \text{g} $、$ d = 19.721 \, \text{mm} $、$ h = 34.36 \, \text{mm} $ 转换为 $ \text{kg} $ 和 $ \text{m} $：
\[
\rho = \frac{4 \times 0.09054}{\pi \times (0.019721)^2 \times 0.03436} \approx 8620 \, \text{kg/m}^3
\]
相对不确定度为：
\[
\frac{\Delta \rho}{\rho} = \sqrt{\left( \frac{0.06}{90.54} \right)^2 + \left( 2 \times \frac{0.005}{19.721} \right)^2 + \left( \frac{0.03}{34.36} \right)^2} \approx 0.12\%
\]
绝对不确定度为：
\[
\Delta \rho = 0.12\% \times 8620 \approx 10 \, \text{kg/m}^3
\]
最终结果：
\[
\rho = (8620 \pm 10) \, \text{kg/m}^3
\]
或
\[
\rho = (8.62 \pm 0.01) \, \text{g/cm}^3
\]
相对不确定度 $ E_\rho = 0.12\% $。
解析
本题主要考查物理量的计算、不确定度的合成以及结果的表示，解题思路如下：
- 确定密度计算公式：根据物理学知识，圆柱的密度公式为$\rho = \frac{M}{V}$，其中$V$为圆柱体积，对于圆柱$V=\pi(\frac{d}{2})^2h=\frac{\pi d^2 h}{4}$，所以$\rho = \frac{4M}{\pi d^2 h}$。
- 计算密度的实验结果：
- 首先将题目中给出的质量$M = 90.54\,\mathrm{g}$换算为$M = 0.09054\,\mathrm{kg}$，直径$d = 19.721\,\mathrm{mm}$换算为$d = 0.019721\,\mathrm{m}$，高$h = 34.36\,\mathrm{mm}$换算为$h = 0.03436\,\mathrm{m}$。
- 然后将这些值代入密度公式$\rho = \frac{4M}{\pi d^2 h}$进行计算：
$\begin{align*}\rho&=\frac{4\times0.09054}{\pi\times(0.019721)^2\times0.03436}\\&=\frac{0.36216}{\pi\times3.88928841\times10^{-4}\times0.03436}\\&=\frac{0.36216}{4.1777\times10^{-5}}\\&\approx 8620\,\mathrm{kg/m^3}\end{align*}$
- 推导密度的相对不确定度表达式：
- 对于函数$y = f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，其相对不确定度$\frac{\Delta y}{y}$的计算公式为$\frac{\Delta y}{y}=\sqrt{(\frac{\partial\ln y}{\partial\ln x_1}\frac{\Delta x_1}{x_1})^2+(\frac{\partial\ln y}{\partial\ln x_2}\frac{\Delta x_2}{x_2})^2+\cdots+(\frac{\partial\ln y}{\partial\ln x_n}\frac{\Delta x_n}{x_n})^2}$。
- 对$\rho = \frac{4M}{\pi d^2 h}$两边取自然对数得$\ln\rho=\ln4+\ln M-\ln\pi - 2\ln d-\ln h$。
- 分别求偏导数：$\frac{\partial\ln\rho}{\partial\ln M}=1$，$\frac{\partial\ln\rho}{\partial\ln d}=-2$，$\frac{\partial\ln\rho}{\partial\ln h}=-1$。
- 所以密度的相对不确定度表达式为$\frac{\Delta\rho}{\rho}=\sqrt{(\frac{\Delta M}{M})^2+(2\frac{\Delta d}{d})^2+(\frac{\Delta h}{h})^2}$。
- 计算密度的相对不确定度：
- 已知$M=(90.54\pm0.06)\,\mathrm{g}$，$d=(19.721\pm0.005)\,\mathrm{mm}$，$h=(34.36\pm0.03)\,\mathrm{mm}$，将$\Delta M = 0.06\,\mathrm{g}$，$M = 90.54\,\mathrm{g}$，$\Delta d = 0.005\,\mathrm{mm}$，$d = 19.721\,\mathrm{mm}$，$\Delta h = 0.03\,\mathrm{mm}$，$h = 34.36\,\mathrm{mm}$代入相对不确定度表达式：
$\begin{align*}\frac{\Delta\rho}{\rho}&=\sqrt{(\frac{0.06}{90.54})^2+(2\times\frac{0.005}{19.721})^2+(\frac{0.03}{34.36})^2}\\&=\sqrt{(6.627\times10^{-4})^2+(5.069\times10^{-4})^2+(8.731\times10^{-4})^2}\\&=\sqrt{4.392\times10^{-7}+2.57\times10^{-7}+7.623\times10^{-7}}\\&=\sqrt{1.4585\times10^{-6}}\\&\approx 1.21\times10^{-3}\\&= 0.12\%\end{align*}$
- 已知$M=(90.54\pm0.06)\,\mathrm{g}$，$d=(19.721\pm0.005)\,\mathrm{mm}$，$h=(34.36\pm0.03)\,\mathrm{mm}$，将$\Delta M = 0.06\,\mathrm{g}$，$M = 90.54\,\mathrm{g}$，$\Delta d = 0.005\,\mathrm{mm}$，$d = 19.721\,\mathrm{mm}$，$\Delta h = 0.03\,\mathrm{mm}$，$h = 34.36\,\mathrm{mm}$代入相对不确定度表达式：
- 计算密度的合成标准不确定度（绝对不确定度）：
- 绝对不确定度$\Delta\rho=\frac{\Delta\rho}{\rho}\times\rho$，将$\frac{\Delta\rho}{\rho}=0.12\%$，$\rho = 8620\,\mathrm{kg/m^3}$代入得：
$\Delta\rho = 0.12\%\times8620 = 10.344\approx 10\,\mathrm{kg/m^3}$
- 绝对不确定度$\Delta\rho=\frac{\Delta\rho}{\rho}\times\rho$，将$\frac{\Delta\rho}{\rho}=0.12\%$，$\rho = 8620\,\mathrm{kg/m^3}$代入得：
- 结果表示：
- 密度的实验结果表示为$\rho = (8620\pm 10)\,\mathrm{kg/m^3}$。
- 若将单位换算为$\mathrm{g/cm^3}$，$8620\,\mathrm{kg/m^3}=8.62\,\mathrm{g/cm^3}$，$10\,\mathrm{kg/m^3}=0.01\,\mathrm{g/cm^3}$，则结果也可表示为$\rho = (8.62\pm 0.01)\,\mathrm{g/cm^3}$。