9.设x1,x2,x3是来自总体X的样本,若 (X)=u (未知), hat (mu )=dfrac (1)(2)(x)_(1)-a(x)_(2)+3a(x)_(3) 是μ的-|||-无偏估计,则常数 a=-|||-A. dfrac (1)(6) B. dfrac (1)(4) C. dfrac (1)(3) D. dfrac (1)(2)

本题考查无偏估计的概念及期望的性质。解题思路是根据无偏估计的定义，即估计量的期望等于被估计的总体参数，结合期望的线性性质来求解常数 $a$ 的值。

1. 首先明确无偏估计的定义：
   • 若$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计，则$E(\hat{\mu})=\mu$。
   • 已知$\hat{\mu}=\frac{1}{2}x_1 - ax_2 + 3ax_3$，所以需要计算$E(\hat{\mu})$。
2. 然后根据期望的线性性质计算$E(\hat{\mu})$：
   • 期望的线性性质为$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$为常数，$X,Y$为随机变量）。
   • 对于$\hat{\mu}=\frac{1}{2}x_1 - ax_2 + 3ax_3$，有$E(\hat{\mu})=E(\frac{1}{2}x_1 - ax_2 + 3ax_3)$。
   • 根据期望的线性性质可得$E(\hat{\mu})=\frac{1}{2}E(x_1)-aE(x_2)+3aE(x_3)$。
   • 因为$x_1,x_2,x_3$是来自总体$X$的样本，且$E(X)=\mu$，所以$E(x_1)=E(x_2)=E(x_3)=\mu$。
   • 则$E(\hat{\mu})=\frac{1}{2}\mu - a\mu+3a\mu$。
   • 合并同类项可得$E(\hat{\mu})=(\frac{1}{2}+2a)\mu$。
3. 最后根据无偏估计的定义求解$a$：
   • 由于$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计，所以$E(\hat{\mu})=\mu$，即$(\frac{1}{2}+2a)\mu=\mu$。
   • 因为$\mu$未知但$\mu\neq0$（若$\mu = 0$，则总体均值为$0$，但本题讨论的是一般情况），等式两边同时除以$\mu$，得到$\frac{1}{2}+2a = 1$。
   • 移项可得$2a=1 - \frac{1}{2}$，即$2a=\frac{1}{2}$。
   • 两边同时除以$2$，解得$a=\frac{1}{4}$。