题目

如题 4-2 图所示,半径为R1和 (RIlt R2) 的同心球壳均匀带电,小球壳带有电荷-|||-+q, 大球壳内表面带有电荷 - 9, 外表面带有电荷 +9-|||-(1)小球壳内、两球壳间及大球壳外任一点的场强;-|||-(2)小球壳内、两球壳间及大球壳外任一点的电势。-|||-R1 +9-|||--q-|||-+9 R2

题目解答

答案

解析

本题主要考查利用高斯定理求电场强度以及利用电势叠加原理求电势的知识。解题思路是先根据高斯定理分别求出小球壳内、两球壳间及大球壳外任一点的场强，再根据电势叠加原理分别求出这三个区域任一点的电势。

（1）求场强

  • 小球壳内（$r\lt R_1$）：
    根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$，其中$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}$是电场强度$\vec{E}$通过闭合曲面$S$的电通量，$q_{in}$是闭合曲面$S$内所包围的电荷量，$\varepsilon_0$是真空介电常数。
    在小球壳内取一个半径为$r$（$r\lt R_1$）的同心高斯球面，由于该高斯面内所包围的电荷量$q_{in}=0$，所以$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E_1\cdot 4\pi r^2 = 0$，解得$E_1 = 0$。
  • 两球壳间（$R_1\lt r\lt R_2$）：
    在两球壳间取一个半径为$r$（$R_1\lt r\lt R_2$）的同心高斯球面，此时该高斯面内所包围的电荷量$q_{in}=q$。
    根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E_2\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$，解得$E_2=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$。
  • 大球壳外（$r\gt R_2$）：
    在大球壳外取一个半径为$r$（$r\gt R_2$）的同心高斯球面，该高斯面内所包围的总电荷量$q_{in}=q - q + q = q$。
    根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E_3\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$，解得$E_3=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$。

（2）求电势

  • 小球壳内（$r\lt R_1$）：
    根据电势叠加原理，小球壳内的电势等于小球壳表面的电势，因为小球壳是等势体。
    小球壳表面的电势$\varphi_1=\int_{r}^{R_1}E_1dr+\int_{R_1}^{R_2}E_2dr+\int_{R_2}^{\infty}E_3dr$，由于$E_1 = 0$，所以$\varphi_1=\int_{R_1}^{R_2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr+\int_{R_2}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr$。
    计算积分$\int_{R_1}^{R_2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$，$\int_{R_2}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}$，则$\varphi_1=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_1}$。
  • 两球壳间（$R_1\lt r\lt R_2$）：
    $\varphi_2=\int_{r}^{R_2}E_2dr+\int_{R_2}^{\infty}E_3dr=\int_{r}^{R_2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr+\int_{R_2}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr$。
    计算积分$\int_{r}^{R_2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2})$，$\int_{R_2}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}$，则$\varphi_2=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2})+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$。
  • 大球壳外（$r\gt R_2$）：
    $\varphi_3=\int_{r}^{\infty}E_3dr=\int_{r}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr$。
    计算积分$\int_{r}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$。