例1 质量 m=1kg 的质点从O点开始沿半径 =2ml 的-|||-圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动-|||-方程为 =0.5pi (t)^2 试求从 _(1)=sqrt (2)S 到 _(2)=2s 这段-|||-时间内质点所受合外力的冲量。-|||-0

本题考查知识点为动量定理以及圆周运动中速度的计算。解题思路如下：

1. 首先根据运动方程求出质点的速度表达式，因为运动方程$S = 0.5\pi t^{2}$，在圆周运动中，速度$v=\frac{dS}{dt}$，对运动方程求导可得到速度关于时间的函数。
2. 然后将$t_1=\sqrt{2}s$和$t_2 = 2s$分别代入速度表达式，求出这两个时刻的速度大小$v_1$和$v_2$。
3. 由于质点做圆周运动，速度是矢量，根据矢量运算法则求出$t_1$到$t_2$时间内质点动量的变化量$\Delta P$。
4. 最后根据动量定理$I = \Delta P$（其中$I$为合外力的冲量，$\Delta P$为动量的变化量），求出合外力的冲量。

具体计算过程如下：

1. 求速度表达式：
   已知运动方程$S = 0.5\pi t^{2}$，对其求导可得速度$v$关于时间$t$的表达式，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，则$v=\frac{dS}{dt}=\frac{d(0.5\pi t^{2})}{dt}=0.5\pi\times2t=\pi t$。
2. 求$t_1$和$t_2$时刻的速度大小：
   当$t_1=\sqrt{2}s$时，$v_1=\pi t_1=\sqrt{2}\pi m/s$；
   当$t_2 = 2s$时，$v_2=\pi t_2 = 2\pi m/s$。
3. 求动量的变化量$\Delta P$：
   因为质点做圆周运动，$v_1$和$v_2$方向垂直，根据矢量运算法则，动量变化量$\Delta P$的大小为$\Delta P = m\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}$，已知$m = 1kg$，$v_1=\sqrt{2}\pi m/s$，$v_2 = 2\pi m/s$，则$\Delta P=1\times\sqrt{(\sqrt{2}\pi)^{2}+(2\pi)^{2}}=\sqrt{2\pi^{2}+4\pi^{2}}=\sqrt{6\pi^{2}}=\sqrt{6}\pi kg\cdot m/s$。
4. 求合外力的冲量$I$：
   根据动量定理$I = \Delta P$，可得$I=\sqrt{6}\pi N\cdot s$。