设随机变量X~N(1,4),φ(0)=0.5,φ(1)=0.8413,则P(1≤X≤3)=()A. 0.1385B. 0.2413C. 0.2934D. 0.3413

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将给定的正态分布随机变量$X$进行标准化变换，然后利用标准正态分布的性质和已知的标准正态分布函数值来计算$P\{1\leq X\leq 3\}$。

已知随机变量$X\sim N(1,4)$，即$X$服从均值$\mu = 1$，方差$\sigma^2 = 4$的正态分布，那么标准差$\sigma=\sqrt{4}=2$。

1. 进行标准化变换：
   对于正态分布$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，可通过$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$将其转化为标准正态分布$Z\sim N(0,1)$。
   对于$P\{1\leq X\leq 3\}$，将其进行标准化：
   $P\{1\leq X\leq 3\}=P\left\{\frac{1 - 1}{2}\leq\frac{X - 1}{2}\leq\frac{3 - 1}{2}\right\}$
   根据上述标准化变换公式，$\frac{X - 1}{2}\sim N(0,1)$，则上式可化为$P\{0\leq Z\leq 1\}$。
2. 利用标准正态分布的性质计算概率：
   标准正态分布的分布函数为$\varPhi(z)$，且$P\{a\leq Z\leq b\}=\varPhi(b)-\varPhi(a)$。
   所以$P\{0\leq Z\leq 1\}=\varPhi(1)-\varPhi(0)$。
3. 代入已知值计算结果：
   已知$\varPhi(0)=0.5$，$\varPhi(1)=0.8413$，将其代入上式可得：
   $P\{0\leq Z\leq 1\}=0.8413 - 0.5=0.3413$