假设生产1加仑葡萄酒需要10单位劳动和5单位土地，而生产1磅奶酪需要4单位劳动和8单位土地。葡萄酒的价格为每加仑30美元，奶酪的价格为每磅16美元。假设这是一个竞争市场，产品价格等于其生产成本。a. 列出表示葡萄酒和奶酪价格等于其生产成本的方程。b. 求解出均衡时的工资率（w）和土地租金（r）。c. 如果奶酪的价格上升到每磅24美元，新的工资率（w）和土地租金（r）是多少？

本题主要考察了根据生产成本与产品价格的关系建立方程，并求解均衡时的工资率和土地租金，同时分析价格变动对工资率和土地租金的影响。解题的关键在于根据生产要素投入和产品价格列出成本方程，然后通过联立方程求解未知数。

a. 列出表示葡萄酒和奶酪价格等于其生产成本的方程

在竞争市场中，产品价格等于其生产成本。生产成本由劳动成本和土地成本组成，劳动成本等于劳动投入量乘以工资率 $w$，土地成本等于土地投入量乘以土地租金 $r$。

• 对于葡萄酒，生产 1 加仑葡萄酒需要 10 单位劳动和 5 单位土地，葡萄酒价格为每加仑 30 美元，所以其成本方程为：$10w + 5r = 30$。
• 对于奶酪，生产 1 磅奶酪需要 4 单位劳动和 8 单位土地，奶酪价格为每磅 16 美元，所以其成本方程为：$4w + 8r = 16$。

b. 求解出均衡时的工资率（$w$）和土地租金（$r$）

为了方便求解，我们对上述两个方程进行简化。

• 方程 $10w + 5r = 30$ 两边同时除以 5，得到 $2w + r = 6$，移项可得 $r = 6 - 2w$。
• 方程 $4w + 8r = 16$ 两边同时除以 4，得到 $w + 2r = 4$。
  将 $r = 6 - 2w$ 代入 $w + 2r = 4$ 中，可得：
  $\begin{align*} w + 2(6 - 2w) &= 4\\ w + 12 - 4w &= 4\\ -3w &= 4 - 12\\ -3w &= -8\\ w &= \frac{8}{3} \end{align*}$
  将 $w = \frac{8}{3}$ 代入 $r = 6 - 2w$ 中，可得：
  $\begin{align*} r &= 6 - 2\times\frac{8}{3}\\ r &= 6 - \frac{16}{3}\\ r &= \frac{18}{3} - \frac{16}{3}\\ r &= \frac{2}{3} \end{align*}$

c. 如果奶酪的价格上升到每磅 24 美元，新的工资率（$w$）和土地租金（$r$）是多少

当奶酪价格上升到每磅 24 美元时，葡萄酒的成本方程不变，仍为 $2w + r = 6$，移项可得 $r = 6 - 2w$。
奶酪的成本方程变为 $4w + 8r = 24$，两边同时除以 4，得到 $w + 2r = 6$。
将 $r = 6 - 2w$ 代入 $w + 2r = 6$ 中，可得：
$\begin{align*} w + 2(6 - 2w) &= 6\\ w + 12 - 4w &= 6\\ -3w &= 6 - 12\\ -3w &= -6\\ w &= 2 \end{align*}$
将 $w = 2$ 代入 $r = 6 - 2w$ 中，可得：
$\begin{align*} r &= 6 - 2\times2\\ r &= 6 - 4\\ r &= 2 \end{align*}$