3.设X_(1),...,X_(6)为总体Xsim N(0,1)的一个样本，且cY服从chi^2分布，这里，Y=(X_(1)+X_(2)+X_(3))^2+(X_(4)+X_(5)+X_(6))^2，则c=_____.(答案用分数表示)
题目解答
答案
根据题目给出的条件，我们需要确定常数 $c$ 的值，使得 $cY$ 服从 $\chi^2$ 分布。
已知 $X_1, \cdots, X_6$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的一个样本，这意味着 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是相互独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$ 的随机变量。
给定的表达式为：
$Y = (X_1 + X_2 + X_3)^2 + (X_4 + X_5 + X_6)^2$
第一步：分析 $X_1 + X_2 + X_3$ 的分布
令 $U = X_1 + X_2 + X_3$。
因为 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立且服从 $N(0,1)$，根据正态分布的可加性，它们的和 $U$ 也服从正态分布。
其期望为：$E(U) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 0 + 0 + 0 = 0$
其方差为：$D(U) = D(X_1) + D(X_2) + D(X_3) = 1 + 1 + 1 = 3$
因此，$U \sim N(0, 3)$。
第二步：分析 $X_4 + X_5 + X_6$ 的分布
同理，令 $V = X_4 + X_5 + X_6$。
$V$ 也服从正态分布，其期望为 $0$，方差为 $3$。
因此，$V \sim N(0, 3)$。
第三步：标准化并构造 $\chi^2$ 分布
由于 $U \sim N(0, 3)$，将其标准化得到 $\frac{U}{\sqrt{3}} \sim N(0, 1)$。
同理，$\frac{V}{\sqrt{3}} \sim N(0, 1)$。
根据 $\chi^2$ 分布的定义，独立标准正态分布随机变量的平方和服从 $\chi^2$ 分布。
因此，$\left(\frac{U}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(1)$，且 $\left(\frac{V}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(1)$。
因为 $X_1, \cdots, X_6$ 相互独立，所以 $U$ 和 $V$ 也相互独立。
两个独立的 $\chi^2(1)$ 分布变量之和服从自由度为 $2$ 的 $\chi^2$ 分布，即：
$\left(\frac{U}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{V}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(2)$
第四步：求解 $c$
将上述表达式展开：
$\frac{U^2}{3} + \frac{V^2}{3} \sim \chi^2(2)$
$\frac{1}{3}(U^2 + V^2) \sim \chi^2(2)$
已知 $Y = U^2 + V^2 = (X_1 + X_2 + X_3)^2 + (X_4 + X_5 + X_6)^2$，代入上式得：
$\frac{1}{3}Y \sim \chi^2(2)$
题目要求 $cY$ 服从 $\chi^2$ 分布，对比可知 $c = \frac{1}{3}$。
结论：
$c = \frac{1}{3}$
解析
本题考查正态分布的性质、$\chi^{2}$分布的定义及性质。解题的关键思路是先根据正态分布的可加性求出$X_1 + X_2 + X_3$与$X_4 + X_5 + X_6$的分布，再将其标准化，利用$\chi^{2}$分布的定义构造出符合要求的$\chi^{2}$分布，最后通过对比得出常数$c$的值。
- 分析$X_1 + X_2 + X_3$的分布：
令$U = X_1 + X_2 + X_3$。
因为$X_1, X_2, X_3$相互独立且服从$N(0,1)$，根据正态分布的可加性，相互独立的正态分布随机变量之和仍服从正态分布。
对于期望，根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（这里$a = b = 1$），可得$E(U) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 0 + 0 + 0 = 0$。
对于方差，根据方差的性质，当随机变量相互独立时，$D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$（这里$a = b = 1$），可得$D(U) = D(X_1) + D(X_2) + D(X_3) = 1 + 1 + 1 = 3$。
所以$U \sim N(0, 3)$。 - 分析$X_4 + X_5 + X_6$的分布：
同理，令$V = X_4 + X_5 + X_6$。
$V$也服从正态分布，其期望$E(V)=E(X_4)+E(X_5)+E(X_6)=0 + 0 + 0 = 0$，方差$D(V)=D(X_4)+D(X_5)+D(X_6)=1 + 1 + 1 = 3$。
所以$V \sim N(0, 3)$。 - 标准化并构造$\chi^{2}$分布：
若随机变量$Z\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\frac{Z - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。
由于$U \sim N(0, 3)$，将其标准化得到$\frac{U}{\sqrt{3}} \sim N(0, 1)$；同理，$\frac{V}{\sqrt{3}} \sim N(0, 1)$。
根据$\chi^{2}$分布的定义：若$Z\sim N(0,1)$，则$Z^2\sim\chi^{2}(1)$。
所以$\left(\frac{U}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^{2}(1)$，且$\left(\frac{V}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^{2}(1)$。
又因为$X_1, \cdots, X_6$相互独立，所以$U$和$V$也相互独立。
根据$\chi^{2}$分布的可加性：若$X_1\sim\chi^{2}(n_1)$，$X_2\sim\chi^{2}(n_2)$，且$X_1$与$X_2$相互独立，则$X_1 + X_2\sim\chi^{2}(n_1 + n_2)$。
所以$\left(\frac{U}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{V}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^{2}(1 + 1)=\chi^{2}(2)$。 - 求解$c$：
对$\left(\frac{U}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{V}{\sqrt{3}}\right)^2$进行化简：
$\begin{align*} \left(\frac{U}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{V}{\sqrt{3}}\right)^2&=\frac{U^2}{3} + \frac{V^2}{3}\\ &=\frac{1}{3}(U^2 + V^2) \end{align*}$
已知$Y = U^2 + V^2 = (X_1 + X_2 + X_3)^2 + (X_4 + X_5 + X_6)^2$，代入上式得$\frac{1}{3}Y \sim \chi^{2}(2)$。
因为题目要求$cY$服从$\chi^{2}$分布，对比可知$c = \frac{1}{3}$。