[例6.2]自催化反应 +Parrow arrow P+P 是一个等密度反应过程,反应速率为 _(A)=(k)_(A)(C)_(P), 速-|||-率常数为 .001L/(molcdot s), 进料流量为 _(0)=0.002(m)^3/s _(AO)=2kmol(m)^2 _(PO)=0, 转化率 _(A)=-|||-0.98,试计算下列反应器的体积。-|||-(1)全混流反应器(CSTR)。-|||-(2)两个等体积全混流反应器串联的组合反应器。-|||-(3)平推流反应器。-|||-(4)循环比 R=1 的循环反应器。-|||-(5)具有最小体积的循环反应器。
题目解答
答案
解析
本题主要考察不同类型反应器（全混流反应器、平推流反应器、循环反应器等）体积的计算，解题的关键在于根据不同反应器的设计方程，结合给定的反应速率方程和初始条件进行积分或代数运算。
（1）全混流反应器（CSTR）
全混流反应器的设计方程为：$V = \frac{q_0(C_{A0}-C_A)}{r_A}$
已知反应速率$r_A = kC_AC_P$，对于自催化反应$A + P \rightarrow P + P$，$C_P = C_{P0}+C_{A0}-C_A$，因为$C_{P0}=0$，所以$C_P = C_{A0}-C_A$。
又因为$C_A = C_{A0}(1 - X_A)$，则$C_P = C_{A0}X_A$，$r_A = kC_{A0}^2(1 - X_A)X_A$。
将$C_A = C_{A0}(1 - X_A)$和$r_A = kC_{A0}^2(1 - X_A)X_A$代入全混流反应器设计方程可得：
$\begin{align*}V&=\frac{q_0C_{A0}X_A}{kC_{A0}^2(1 - X_A)X_A}\\&=\frac{q_0}{kC_{A0}(1 - X_A)}\end{align*}$
已知$q_0 = 0.002m^3/s$，$k = 0.001L/(mol\cdot s)=0.001m^3/(kmol\cdot s)$，$C_{A0}=2kmol/m^3$，$X_A = 0.98$，代入上式可得：
$\begin{align*}V&=\frac{0.002}{0.001\times2\times(1 - 0.98)}\\&=\frac{0.002}{0.001\times2\times0.02}\\&= 50m^3\end{align*}$
（2）两个等体积全混流反应器串联的组合反应器
设第一个CSTR出口浓度为$C_{A1}$，转化率为$X_{A1}$，第二个CSTR出口浓度为$C_{A2}$，转化率为$X_{A2}=0.98$。
对于第一个CSTR：$V_1=\frac{q_0(C_{A0}-C_{A1})}{kC_{A1}C_{P1}}=\frac{q_0C_{A0}(X_{A1}-0)}{kC_{A0}(1 - X_{A1})C_{A0}X_{A1}}=\frac{q_0(X_{A1})}{kC_{A0}(1 - X_{A1})X_{A1}}$
对于第二个CSTR：$V_2=\frac{q_0(C_{A1}-C_{A2})}{kC_{A2}C_{P2}}=\frac{q_0C_{A0}(X_{A2}-X_{A1})}{kC_{A0}(1 - X_{A2})C_{A0}X_{A2}}$
因为$V_1 = V_2$，所以$\frac{q_0(X_{A1})}{kC_{A0}(1 - X_{A1})X_{A1}}=\frac{q_0C_{A0}(X_{A2}-X_{A1})}{kC_{A0}(1 - X_{A2})C_{A0}X_{A2}}$，化简得$\frac{1}{1 - X_{A1}}=\frac{X_{A2}-X_{A1}}{(1 - X_{A2})X_{A2}}$。
将$X_{A2}=0.98$代入上式，解得$X_{A1}=0.8496$。
则$V_1 = V_2=\frac{q_0(X_{A1})}{kC_{A0}(1 - X_{A1})X_{A1}}$，总体积$V = 2V_1$。
$\begin{align*}V_1&=\frac{0.002\times0.8496}{0.001\times2\times(1 - 0.8496)\times0.8496}\\&\approx 6.65m^3\end{align*}$
$V = 2V_1\approx 13.3m^3$
（3）平推流反应器
平推流反应器的设计方程为：$V = q_0\int_{C_{A0}}^{C_A}\frac{dC_A}{r_A}$
因为进口处$C_{P0}=0$，即$r_A = kC_AC_P = 0$，分母为$0$，积分无法进行，所以反应器的体积无穷大。
（4）$R = 1$的循环反应器
循环反应器的计算公式为：$V_R=\frac{q_0(1 + R)}{kC_{A0}}\int_{\frac{R}{1 + R}}^{X_A}\frac{dX_A}{X_A(1 - X_A)}$
已知$R = 1$，$q_0 = 0.002m^3/s$，$k = 0.001m^3/(kmol\cdot s)$，$C_{A0}=2kmol/m^3$，$X_A = 0.98$。
先对$\int\frac{dX_A}{X_A(1 - X_A)}$进行积分，$\frac{1}{X_A(1 - X_A)}=\frac{1}{X_A}+\frac{1}{1 - X_A}$，则$\int\frac{dX_A}{X_A(1 - X_A)}=\int(\frac{1}{X_A}+\frac{1}{1 - X_A})dX_A=\ln\frac{X_A}{1 - X_A}+C$。
$\begin{align*}V_R&=\frac{q_0(1 + R)}{kC_{A0}}\left[\ln\frac{X_A}{1 - X_A}-\ln\frac{\frac{R}{1 + R}}{1-\frac{R}{1 + R}}\right]\\&=\frac{q_0(1 + R)}{kC_{A0}}\ln\left[\frac{1 + R(1 - X_A)}{R(1 - X_A)}\right]\end{align*}$
将$R = 1$，$q_0 = 0.002m^3/s$，$k = 0.001m^3/(kmol\cdot s)$，$C_{A0}=2kmol/m^3$，$X_A = 0.98$代入上式可得：
$\begin{align*}V_R&=\frac{0.002\times(1 + 1)}{0.001\times2}\ln\left[\frac{1 + 1\times(1 - 0.98)}{1\times(1 - 0.98)}\right]\\&= 2\ln\left(\frac{1.02}{0.02}\right)\\&\approx 7.86m^3\end{align*}$
（5）具有最小体积的循环反应器
根据循环反应器的计算公式$V_R=\frac{q_0(1 + R)}{kC_{A0}}\ln\left[\frac{1 + R(1 - X_A)}{R(1 - X_A)}\right]$，对$V_R$关于$R$求导并令$\frac{dV_R}{dR}=0$，得到$\ln\left[\frac{1 + R(1 - X_A)}{R(1 - X_A)}\right]=\frac{1 + R}{R[1 + R(1 - X_A)]}$。
用试差法求得，当$X_A = 0.98$时，$R_{opt}=0.226$。
将$R_{opt}=0.226$，$q_0 = 0.002m^3/s$，$k = 0.001m^3/(kmol\cdot s)$，$C_{A0}=2kmol/m^3$，$X_A = 0.98$代入循环反应器计算式可得：
$\begin{align*}V_R&=\frac{0.002\times(1 + 0.226)}{0.001\times2}\ln\left[\frac{1 + 0.226\times(1 - 0.98)}{0.226\times(1 - 0.98)}\right]\\&\approx 6.62m^3\end{align*}$