均数和标准差的关系是（1分）A. 标准差越小，均数对各变量值的代表性越好B. 均数越大，标准差越小C. 标准差越大，均数对各变量值的代表性越好D. 均数越大，标准差越大E. 标准差越小，样本均数与总体均数的距离越大

本题考查均数和标准差的概念及二者之间的关系。解题的关键在于理解均数和标准差各自的含义，以及标准差如何反映均数对各变量值的代表性。

均数和标准差的含义

• 均数是一组数据的平均值，它反映了数据的集中趋势，代表了这组数据的平均水平。
• 标准差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量。标准差越大，说明数据偏离均数的程度越大，数据越分散；标准差越小，说明数据越集中在均数附近。

对各选项的分析

• A选项：
  • 当标准差越小时，意味着数据越紧密地围绕在均数周围。例如，有两组数据，第一组数据为$2, 3, 4$，其均数$\bar{x}_1=\frac{2 + 3+4}{3}=3$，根据标准差公式$s=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}}$，计算这组数据的标准差：
    • 先计算$(x_1 - \bar{x})^2=(2 - 3)^2=1$，$(x_2 - \bar{x})^2=(3 - 3)^2=0$，$(x_3 - \bar{x})^2=(4 - 3)^2=1$。
    • 则$\sum_{i = 1}^{3}(x_i-\bar{x})^2=1 + 0+1 = 2$，$s_1=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0.82$。
  • 第二组数据为$1, 5, 7$，其均数$\bar{x}_2=\frac{1 + 5+7}{3}=\frac{13}{3}\approx4.33$，同样计算标准差：
    • $(x_1 - \bar{x})^2=(1 - 4.33)^2\approx11.09$，$(x_2 - \bar{x})^2=(5 - 4.33)^2\approx0.45$，$(x_3 - \bar{x})^2=(7 - 4.33)^2\approx6.93$。
    • $\sum_{i = 1}^{3}(x_i-\bar{x})^2=11.09+0.45 + 6.93=18.47$，$s_2=\sqrt{\frac{18.47}{3}}\approx2.47$。
  • 可以看出第一组数据标准差小，数据更集中在均数$3$附近，均数对各变量值的代表性就越好，所以A选项正确。
• B选项：均数的大小与标准差的大小没有必然的联系。例如，数据$1, 2, 3$均数为$2$，标准差$s_1=\sqrt{\frac{(1 - 2)^2+(2 - 2)^2+(3 - 2)^2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0.82$；数据$10, 20, 30$均数为$20$，标准差$s_2=\sqrt{\frac{(10 - 20)^2+(20 - 20)^2+(30 - 20)^2}{3}}=\sqrt{\frac{200}{3}}\approx8.16$，均数增大了，但标准差也增大了，所以B选项错误。
• C选项：标准差越大，说明数据越分散，均数对各变量值的代表性就越差，而不是越好，所以C选项错误。
• D选项：如前面所举例子，均数和标准差之间不存在均数越大标准差就越大的必然关系，所以D选项错误。
• E选项：标准差越小，说明样本数据越集中在样本均数附近，样本均数与总体均数的距离可能越小，而不是越大，所以E选项错误。