求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y=x3-5x2+3x+5 ; (2) y=xe-x ; (3) y=(x+1)4+ex ; (4) y=ln(x2+1); (5) y=earctan x ; (6) y=x4(12ln x-7),
求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:
(1).y=x3-5x2+3x+5 ;
(2) y=xe-x ;
(3) y=(x+1)4+ex ;
(4) y=ln(x2+1);
(5) y=earctan x ;
(6) y=x4(12ln x-7),
题目解答
答案
解 (1)y′=3x2-10x+3, y′′=6x-10. 令y′′=0, 得
.
因为当
时, y′′<0; 当
时, y′′>0, 所以曲线在
内是是凸的, 在
内是凹的, 拐点为
.
(2)y′=e-x-x e-x, y′′=-e-x-e-x+x e-x=e-x(x-2). 令y′′=0, 得x=2.
因为当x<2时, y′′<0; 当x>2时, y′′>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e-2).
(3)y′=4(x+1)3+e x, y′′=12(x+1)2+e x .
因为在(-∞, +∞)内, y′′>0, 所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.
(4)
, 
. 令y′′=0, 得x1=-1, x2=1.
列表得
x |
(-∞, -1) |
-1 |
(-1, 1) |
1 |
(1, +∞) |
y′′ |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
y |
∩ |
ln2 拐点 |
∪ |
ln2 拐点 |
∩ |
可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).
(5)
,
. 令y′′=0得, 
.
因为当
时, y′′>0; 当
时, y′′<0, 所以曲线y=e arctg x在
内是凹的, 在
内是凸的, 拐点是
.
(6) y′=4x3(12ln x-7)+12x3, y′′=144x2∙ln x. 令y′′=0, 得x=1.
因为当0<x<1时, y′′<0; 当x>1时, y′′>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).
解析
对于每个函数，首先求出一阶导数y'，这是为了后续求二阶导数做准备。
步骤 2：求二阶导数
求出每个函数的二阶导数y''，二阶导数的符号变化点是判断函数图形凹凸性的关键。
步骤 3：确定凹凸区间和拐点
通过分析二阶导数y''的符号变化，确定函数图形的凹凸区间和拐点。当y''从正变负或从负变正时，对应的x值即为拐点。
步骤 4：计算拐点坐标
对于每个拐点，计算对应的y值，得到拐点的坐标。