题目

1.地球质量为M,半径为R,当一个质量为m的人造卫星仅在万有引力的作用下,从-|||-离地球表面高为2h的高空下降到距离地面为h处,则该人造卫星的动能[ ()-|||-(A)增加了 (dfrac (1)(R+h)-dfrac (1)(R+2h)) (B)减少了 (dfrac (1)(R+h)-dfrac (1)(R+2h))-|||-(C)增加了 (dfrac (1)(2b)) (D)减少了 (dfrac (1)(2h))-|||-A A-|||-B B-|||-C C-|||-D D

题目解答

答案

解析

本题考查万有引力定律与机械能守恒的知识。解题思路是先根据万有引力提供向心力得出卫星动能与轨道半径的关系，再分别计算卫星在不同高度轨道的动能，最后通过动能的变化量来判断动能的增减情况。

推导卫星动能与轨道半径的关系：
- 当卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，根据万有引力定律$F = \frac{GMm}{r^{2}}$（其中$G$为引力常量，$M$为地球质量，$m$为卫星质量，$r$为卫星到地心的距离），向心力公式$F_{向}=\frac{mv^{2}}{r}$（其中$v$为卫星的线速度），可得$\frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}$。
- 对上式进行化简求解$mv^{2}$：
  - 等式两边同时乘以$r$，得到$mv^{2}=\frac{GMm}{r}$。
- 根据动能公式$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，将$mv^{2}=\frac{GMm}{r}$代入可得$E_{k}=\frac{GMm}{2r}$。
计算卫星在不同高度轨道的动能：
- 卫星初始离地球表面高为$2h$，此时轨道半径$r_1 = R + 2h$，则初始动能$E_{k1}=\frac{GMm}{2(R + 2h)}$。
- 卫星下降到距离地面为$h$处，此时轨道半径$r_2 = R + h$，则此时动能$E_{k2}=\frac{GMm}{2(R + h)}$。
计算动能的变化量：
- 动能的变化量$\Delta E_{k}=E_{k2}-E_{k1}$，将$E_{k1}=\frac{GMm}{2(R + 2h)}$和$E_{k2}=\frac{GMm}{2(R + h)}$代入可得：
  - $\Delta E_{k}=\frac{GMm}{2(R + h)}-\frac{GMm}{2(R + 2h)}$。
  - 提取公因式$\frac{GMm}{2}$，得到$\Delta E_{k}=\frac{GMm}{2}(\frac{1}{R + h}-\frac{1}{R + 2h})$。
  - 通分计算$\frac{1}{R + h}-\frac{1}{R + 2h}=\frac{(R + 2h)-(R + h)}{(R + h)(R + 2h)}=\frac{h}{(R + h)(R + 2h)}$，则$\Delta E_{k}=\frac{GMm}{2}\times\frac{h}{(R + h)(R + 2h)}=\frac{GMm}{2}\times\frac{1}{\frac{(R + h)(R + 2h)}{h}}$。
  - 另一种计算方式，$\Delta E_{k}=\frac{GMm}{2}\times\frac{(R + 2h)-(R + h)}{(R + h)(R + 2h)}=\frac{GMm}{2}\times\frac{h}{(R + h)(R + 2h)} = GMm(\frac{1}{R + h}-\frac{1}{R + 2h})$。
- 因为$\Delta E_{k}\gt{}0$，所以卫星的动能增加了$GMm(\frac{1}{R + h}-\frac{1}{R + 2h})$。