题目

已知F1＝150N，F2＝200N，F3＝300N。F＝F'＝200N。求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的距离d。

题目解答

答案

解析

本题主要考查力系的简化以及合力的计算，解题思路如下：

力系向点$O$的简化：
- 首先，需要将各个力分解为$x$轴和$y$轴方向的分力。设$F_1$与$x$轴正方向夹角为$45^{\circ}$，$F_2$与$x$轴正方向夹角$\theta$满足$\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$F_3$与$x$轴正方向夹角$\alpha$满足$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}$。
- 计算$x$轴方向的分力之和$F_{Rx}$：
  根据力的投影公式$F_{x}=F\cos\theta$，可得$F_{Rx}=\sum F_{x}=-\frac{1}{\sqrt{2}}F_{1}-\frac{2}{\sqrt{5}}F_{2}-\frac{1}{\sqrt{10}}F_{3}$。
  将$F_1 = 150N$，$F_2 = 200N$，$F_3 = 300N$代入上式：
  $\begin{align*}F_{Rx}&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\times150-\frac{2}{\sqrt{5}}\times200-\frac{1}{\sqrt{10}}\times300\\&=-\frac{150}{\sqrt{2}}-\frac{400}{\sqrt{5}}-\frac{300}{\sqrt{10}}\\&\approx - 106.07-178.89 - 94.87\\&=-379.83N\end{align*}$
- 计算$y$轴方向的分力之和$F_{Ry}$：
  根据力的投影公式$F_{y}=F\sin\theta$，可得$F_{Ry}=\sum F_{y}=-\frac{1}{\sqrt{2}}F_{1}+\frac{1}{\sqrt{5}}F_{2}-\frac{3}{\sqrt{10}}F_{3}$。
  将$F_1 = 150N$，$F_2 = 200N$，$F_3 = 300N$代入上式：
  $\begin{align*}F_{Ry}&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\times150+\frac{1}{\sqrt{5}}\times200-\frac{3}{\sqrt{10}}\times300\\&=-\frac{150}{\sqrt{2}}+\frac{200}{\sqrt{5}}-\frac{900}{\sqrt{10}}\\&\approx - 106.07+89.44-284.60\\&=-301.23N\end{align*}$
求力系合力的大小：
根据合力大小公式$F_{R}=\sqrt{F_{Rx}^{2}+F_{Ry}^{2}}$，将$F_{Rx}=-379.83N$，$F_{Ry}=-301.23N$代入可得：
$\begin{align*}F_{R}&=\sqrt{(-379.83)^{2}+(-301.23)^{2}}\\&=\sqrt{144270.83+90739.51}\\&=\sqrt{235010.34}\\&\approx484.78N\end{align*}$
求合力与原点$O$的距离$d$：
先计算力系对$O$点的主矩$M_O$，这里答案中给出$M_O = 12495.15N\cdot mm$（原答案中单位$kJ/mol$有误，根据后续计算推测应为$N\cdot mm$）。
根据$M_O = F_{R}d$，可得$d=\frac{M_O}{F_{R}}$，将$M_O = 12495.15N\cdot mm$，$F_{R}=484.78N$代入可得：
$d=\frac{12495.15}{484.78}\approx25.8mm$