长为l的金属导线在垂直于均匀磁场的平面内以角速度omega转动。如果转轴在导线上的位置是在端点，整个导线上的电动势为最大，其值为__；如果转轴位置是在中点，整个导线上的电动势为最小，其值为___。A. (1)/(2)Bl^2omega, 0B. Bl^2omega, 0C. Bl^2omega, (1)/(2)Bl^2omegaD. Blomega, 0

本题考查知识点为动生电动势的计算，解题思路是根据动生电动势的公式$\varepsilon = \int_{l}(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}$，分别分析转轴在导线端点和中点时的情况。

1. 转轴在导线端点时

设导线一端为原点，沿导线方向为$x$轴正方向。

• 导线上距离原点$x$处的线速度大小为$v = \omega x$，速度方向垂直于导线。
• 由于$\vec{v}$、$\vec{B}$和$d\vec{l}$满足$(\vec{v}\times\vec{B})$的方向与$d\vec{l}$方向相同，所以$(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}=vBdx$。
• 根据动生电动势公式$\varepsilon=\int_{l}(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}$，此时积分区间为$[0, l]$，则$\varepsilon=\int_{0}^{l}vBdx$。
• 将$v = \omega x$代入上式可得：$\varepsilon=\int_{0}^{l}\omega xBdx$。
• 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对$\int_{0}^{l}\omega xBdx$进行计算：
  • $\int_{0}^{l}\omega xBdx=\omega B\int_{0}^{l}xdx=\omega B\left[\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{l}$。
  • 把上下限代入可得：$\omega B\left(\frac{1}{2}l^{2}-\frac{1}{2}\times0^{2}\right)=\frac{1}{2}Bl^{2}\omega$。

2. 转轴在导线中点时

• 以导线中点为原点，沿导线方向为$x$轴正方向，此时导线两端的线速度大小相等，方向相反。
• 对于导线上任意一点$x$，其线速度$v=\omega|x|$，且$(\vec{v}\times\vec{B})$在导线两端的方向相反。
• 设导线中点到一端的距离为$\frac{l}{2}$，则动生电动势$\varepsilon=\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}vBdx$。
• 因为$v=\omega|x|$，所以$\varepsilon=\int_{-\frac{l}{2}}^{0}-\omega xBdx+\int_{0}^{\frac{l}{2}}\omega xBdx$。
• 分别计算两个积分：
  • $\int_{-\frac{l}{2}}^{0}-\omega xBdx=-\omega B\left[\frac{1}{2}x^{2}\right]_{-\frac{l}{2}}^{0}=-\omega B\left(0 - \frac{1}{2}\times\left(-\frac{l}{2}\right)^{2}\right)=\frac{1}{8}Bl^{2}\omega$。
  • $\int_{0}^{\frac{l}{2}}\omega xBdx=\omega B\left[\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{\frac{l}{2}}=\omega B\left(\frac{1}{2}\times\left(\frac{l}{2}\right)^{2}-0\right)=\frac{1}{8}Bl^{2}\omega$。
• 则$\varepsilon=\frac{1}{8}Bl^{2}\omega-\frac{1}{8}Bl^{2}\omega = 0$。