(3) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({sin )^3x}

考查要点：本题主要考查利用等价无穷小替换或泰勒展开求解极限的能力，重点在于对三角函数在$x \rightarrow 0$时的展开式的掌握。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$\sin x$和$\tan x$都可以展开为泰勒多项式。通过展开分子$\tan x - \sin x$和分母$\sin^3 x$，保留到$x^3$项，再进行约简即可求得极限。

破题关键点：

1. 正确展开$\sin x$和$\tan x$的泰勒多项式到$x^3$项；
2. 准确计算分子和分母的高阶小项，并化简；
3. 约去相同阶数的无穷小量，得到最终结果。

步骤1：展开分子$\tan x - \sin x$

根据泰勒展开式：

• $\sin x = x - \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3)$
• $\tan x = x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)$

因此：
$\begin{aligned}\tan x - \sin x &= \left( x + \dfrac{1}{3}x^3 \right) - \left( x - \dfrac{1}{6}x^3 \right) + o(x^3) \\&= \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3) \\&= \dfrac{1}{2}x^3 + o(x^3)\end{aligned}$

步骤2：展开分母$\sin^3 x$

利用$\sin x \sim x$（当$x \rightarrow 0$时），可得：
$\sin^3 x \sim x^3$

步骤3：计算极限

将分子和分母代入原式：
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{\sin^3 x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}x^3 + o(x^3)}{x^3} = \dfrac{1}{2}$