题目

两个同方向同频率简写振动方程分别为 x_1 = 0.6cos(2t + (5)/(6)pi) 和 x_2 = 0.8cos(2t - (1)/(6)pi) （SI制），则合振动方程为（ ）1. x = 0.1cos(2t + (1)/(3)pi) 2. x = 0.2cos(2t + (1)/(6)pi) 3. x = 0.2cos(2t - (1)/(6)pi) 4. x = 0.1cos(2t + (1)/(6)pi)

两个同方向同频率简写振动方程分别为 $ x_1 = 0.6\cos(2t + \frac{5}{6}\pi) $ 和 $ x_2 = 0.8\cos(2t - \frac{1}{6}\pi) $ （SI制），则合振动方程为（ ）

1. $ x = 0.1\cos(2t + \frac{1}{3}\pi) $
2. $ x = 0.2\cos(2t + \frac{1}{6}\pi) $
3. $ x = 0.2\cos(2t - \frac{1}{6}\pi) $
4. $ x = 0.1\cos(2t + \frac{1}{6}\pi) $

题目解答

答案

根据简谐振动合成公式： \[ A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_2 - \varphi_1)} = \sqrt{0.36 + 0.64 - 0.96} = 0.2 \] \[ \tan \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2} = \frac{-0.1}{0.1\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies \varphi = -\frac{\pi}{6} \] 因此，合振动方程为： \[ x = 0.2 \cos\left(2t - \frac{\pi}{6}\right) \] 答案：C. $ x = 0.2 \cos\left(2t - \frac{\pi}{6}\right) $

解析

本题考查同方向同频率简谐振动的合成知识。解题思路是先根据简谐振动合成公式求出合振动的振幅 $A$，再求出合振动的初相位 $\varphi$，最后得出合振动方程。

步骤一：求合振动的振幅 $A$

已知两个同方向同频率简谐振动方程分别为 $x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ 和 $x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$，其中 $A_1 = 0.6$，$A_2 = 0.8$，$\omega = 2$，$\varphi_1 = \frac{5}{6}\pi$，$\varphi_2 = -\frac{1}{6}\pi$。
根据简谐振动合成公式 $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_2 - \varphi_1)}$，先计算 $\cos(\varphi_2 - \varphi_1)$：
$\varphi_2 - \varphi_1 = -\frac{1}{6}\pi - \frac{5}{6}\pi = -\pi$
$\cos(\varphi_2 - \varphi_1) = \cos(-\pi) = -1$
将 $A_1 = 0.6$，$A_2 = 0.8$，$\cos(\varphi_2 - \varphi_1) = -1$ 代入振幅公式可得：
$\begin{align*}A&=\sqrt{0.6^2 + 0.8^2 + 2\times 0.6\times 0.8\times (-1)}\\&=\sqrt{0.36 + 0.64 - 0.96}\\&=\sqrt{1 - 0.96}\\&=\sqrt{0.04}\\&= 0.2\end{align*}$

步骤二：求合振动的初相位 $\varphi$

根据公式 $\tan \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2}$，分别计算分子和分母：

  • 计算分子 $A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2$：
    $A_1 \sin \varphi_1 = 0.6\times\sin(\frac{5}{6}\pi) = 0.6\times\frac{1}{2} = 0.3$
    $A_2 \sin \varphi_2 = 0.8\times\sin(-\frac{1}{6}\pi) = 0.8\times(-\frac{1}{2}) = -0.4$
    $A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2 = 0.3 - 0.4 = -0.1$
  • 计算分母 $A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2$：
    $A_1 \cos \varphi_1 = 0.6\times\cos(\frac{5}{6}\pi) = 0.6\times(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -0.3\sqrt{3}$
    $A_2 \cos \varphi_2 = 0.8\times\cos(-\frac{1}{6}\pi) = 0.8\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 0.4\sqrt{3}$
    $A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2 = -0.3\sqrt{3} + 0.4\sqrt{3} = 0.1\sqrt{3}$
    将分子和分母的值代入 $\tan \varphi$ 公式可得：
    $\tan \varphi = \frac{-0.1}{0.1\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
    因为 $A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2 = 0.1\sqrt{3} \gt 0$，$A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2 = -0.1 \lt 0$，所以 $\varphi$ 在第四象限，可得 $\varphi = -\frac{\pi}{6}$。

步骤三：得出合振动方程

合振动方程为 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$，将 $A = 0.2$，$\omega = 2$，$\varphi = -\frac{\pi}{6}$ 代入可得：
$x = 0.2\cos(2t - \frac{1}{6}\pi)$