20.设x1,···,xn是来自正态总体N(μ,σ^2 )的一个样本. ({S)_(n)}^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n((x)_(i)--|||-(x))^2 是样本方差,试求满足 (dfrac ({{S)_(n)}^2}({sigma )^2}leqslant 1.5)geqslant 0.95 的最小n值.

本题考查正态总体样本方差的分布以及卡方分布分位数的应用。解题的关键思路是利用正态总体样本方差的性质，将所求概率转化为卡方分布的概率，再通过卡方分布的分位数建立不等式，最后通过搜索法确定满足不等式的最小$n$值。

1. 利用样本方差性质进行转化：
   已知$x_1,\cdots,x_n$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的一个样本，样本方差$S_n^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$，根据正态总体样本方差的性质，有$\frac{(n - 1)S_n^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$。
   对$P(\frac{S_n^2}{\sigma^2}\leq1.5)$进行变形，因为$\frac{(n - 1)S_n^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$，所以$P(\frac{S_n^2}{\sigma^2}\leq1.5)=P(\frac{(n - 1)S_n^2}{\sigma^2}\leq1.5(n - 1)) = P(\chi^2(n - 1)\leq1.5(n - 1))$。
2. 根据概率与分位数的关系建立不等式：
   要使$P(\chi^2(n - 1)\leq1.5(n - 1))\geq0.95$，根据分位数的定义，$\chi^2(n - 1)$分布的$0.95$分位数$\chi_{0.95}^2(n - 1)$满足$P(\chi^2(n - 1)\leq\chi_{0.95}^2(n - 1)) = 0.95$，所以等价于$\chi_{0.95}^2(n - 1)\leq1.5(n - 1)$。
3. 通过搜索法确定最小$n$值：
   分别计算不同$n$值下$\chi_{0.95}^2(n - 1)$和$1.5(n - 1)$的值，如下表：

   $n$	$\chi_{0.95}^2(n - 1)$	$1.5(n - 1)$
   2	3.8415	1.5
   5	9.4877	6
   10	16.9190	13.5
   15	23.6848	21
   20	30.1435	28.5
   25	36.4150	36
   26	37.6525	37.5
   27	38.8851	39
   28	40.1133	40.5

   通过比较$\chi_{0.95}^2(n - 1)$和$1.5(n - 1)$的值，当$n = 27$时，$\chi_{0.95}^2(26)=38.8851$，$1.5\times(27 - 1)=39$，满足$\chi_{0.95}^2(n - 1)\leq1.5(n - 1)$，且当$n \lt 27$时不满足该不等式，所以满足不等式的最小$n$值为$27$。