题目

mi va-|||-m2一细绳跨过一光滑的定滑轮，如图所示，绳的两端分别悬有质量为m_(1)和m_(2)的物体(m_(1) lt m_(1))。设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力。

一细绳跨过一光滑的定滑轮，如图所示，绳的两端分别悬有质量为$m_{1}$和$m_{2}$的物体$(m_{1} \lt m_{1})$。设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力。

题目解答

答案

最佳答案

设物体的加速度大小为$a$，连接$m_{1}$和$m_{2}$绳子的拉力大小为$T$，
对$m_{1}$根据牛顿第二定律可得：$T-m_{1}g=m_{1}a$
对$m_{2}$根据牛顿第二定律可得：$m_{2}g-T=m_{2}a$
联立解得：$a=\frac{({m}_{2}-{m}_{1})g}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，$T=\frac{2{m}_{1}{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}g$
所以悬挂滑轮的绳中张力$F=2T=\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}g$。
答：物体的加速度大小为$\frac{({m}_{2}-{m}_{1})g}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，悬挂滑轮的绳中张力为$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}g$。

解析

本题考查牛顿第二定律的应用。解题的关键思路是分别对两个物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，然后联立求解出物体的加速度和绳子的拉力，最后根据滑轮的受力情况求出悬挂滑轮的绳中张力。

  1. 对物体$m_1$进行受力分析并列出牛顿第二定律方程：
    • 物体$m_1$受到竖直向下的重力$m_1g$和绳子向上的拉力$T$。
    • 因为$m_2\gt{}m_1$，所以$m_1$将向上做加速运动，其合力方向向上。
    • 根据牛顿第二定律$F = ma$（其中$F$为合力，$m$为质量，$a$为加速度），可得$T - m_1g = m_1a$ ①。
  2. 对物体$m_2$进行受力分析并列出牛顿第二定律方程：
    • 物体$m_2$受到竖直向下的重力$m_2g$和绳子向上的拉力$T$。
    • 由于$m_2\gt{}m_1$，$m_2$将向下做加速运动，其合力方向向下。
    • 根据牛顿第二定律可得$m_2g - T = m_2a$ ②。
  3. 联立方程①②求解加速度$a$：
    • 将方程①$T - m_1g = m_1a$移项可得$T = m_1a + m_1g$。
    • 将$T = m_1a + m_1g$代入方程②$m_2g - T = m_2a$中，得到$m_2g-(m_1a + m_1g)=m_2a$。
    • 展开括号得$m_2g - m_1a - m_1g = m_2a$。
    • 移项可得$m_2g - m_1g = m_2a + m_1a$。
    • 合并同类项得$(m_2 - m_1)g=(m_1 + m_2)a$。
    • 解得$a=\frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$。
  4. 将加速度$a$代入方程①求解绳子拉力$T$：
    • 把$a=\frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$代入$T - m_1g = m_1a$中，可得$T = m_1g + m_1\times\frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$。
    • 通分得到$T=\frac{m_1g(m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}+\frac{m_1(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$。
    • 分子相加得$T=\frac{m_1^2g + m_1m_2g + m_1m_2g - m_1^2g}{m_1 + m_2}$。
    • 化简得$T=\frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$。
  5. 求悬挂滑轮的绳中张力$F$：
    • 因为滑轮光滑且质量不计，滑轮受到绳子向上的两个拉力$T$，根据平衡条件，悬挂滑轮的绳中张力$F$等于这两个拉力之和，即$F = 2T$。
    • 把$T=\frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$代入可得$F = 2\times\frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}=\frac{4m_1m_2g}{m_1 + m_2}$。