题目
设 X_1, X_2, ldots, X_n 是来自总体 X 的简单随机样本,总体均值为 mu。用矩估计法估计 mu 时,估计量是A. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_iB. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n X_iC. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2D. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本,总体均值为 $\mu$。用矩估计法估计 $\mu$ 时,估计量是
A. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
B. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i$
C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$
D. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
解析
本题考查矩估计法的知识点。矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩,然后通过解方程组得到未知参数的估计量。对于本题,我们要估计总体均值 $\mu$,总体均值 $\mu$ 是总体的一阶原点矩,即 $E(X)=\mu$,所以我们可以用样本的一阶原点矩来估计总体的一阶原点矩。
下面进行详细的解答:
- 首先明确总体的一阶原点矩:
总体的一阶原点矩为 $E(X)$,已知总体均值为 $\mu$,所以 $E(X)=\mu$。 - 然后计算样本的一阶原点矩:
样本的一阶原点矩为 $A_1=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$,这里 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$ 是样本均值。 - 最后根据矩估计法的原理:
用样本的一阶原点矩 $A_1$ 估计总体的一阶原点矩 $E(X)$,即令 $E(X)=A_1$,也就是 $\mu=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
所以用矩估计法估计 $\mu$ 时,估计量是 $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。