题目

某年某中学体检，测得100名高一女生的平均身高=154.0 (cm)，S=6.6 (cm)，该校高一女生身高在143-170cm者所占比重为（ ）。(Z_(0.0078)=-2.42，Z_(0.0475)=-1.67)A. 97.5%B. 95%C. 90%D. 94.5%E. 99%

某年某中学体检，测得100名高一女生的平均身高=$154.0\ \text{cm}$，$S=6.6\ \text{cm}$，该校高一女生身高在143-170cm者所占比重为（ ）。($Z_{0.0078}=-2.42$，$Z_{0.0475}=-1.67$)

A. 97.5%

B. 95%

C. 90%

D. 94.5%

E. 99%

题目解答

答案

D. 94.5%

解析

本题考查正态分布的应用，解题思路是先将给定的身高范围转化为标准正态分布的$Z$值，再根据标准正态分布表确定对应的概率，最后计算出身高在指定范围内的比重。

  1. 计算下限$143cm$对应的$Z$值：
    已知样本均值$\bar{X}=154.0cm$，标准差$S = 6.6cm$，根据$Z$值计算公式$Z=\frac{X - \bar{X}}{S}$（其中$X$为具体数值），当$X = 143cm$时，可得：
    $Z_1=\frac{143 - 154}{6.6}=\frac{-11}{6.6}\approx - 1.67$
  2. 计算上限$170cm$对应的$Z$值：
    当$X = 170cm$时，同样根据$Z$值计算公式可得：
    $Z_2=\frac{170 - 154}{6.6}=\frac{16}{6.6}\approx 2.42$
  3. 确定身高在$143 - 170cm$范围内的概率：
    由标准正态分布的性质可知，$P(143\leq X\leq170)=P(-1.67\leq Z\leq2.42)$。
    根据标准正态分布的对称性，$P(-1.67\leq Z\leq2.42)=\varPhi(2.42)-\varPhi(-1.67)$，其中$\varPhi(Z)$表示标准正态分布的分布函数。
    又因为$\varPhi(-Z)=1 - \varPhi(Z)$，所以$\varPhi(-1.67)=1 - \varPhi(1.67)$，则$P(-1.67\leq Z\leq2.42)=\varPhi(2.42)-(1 - \varPhi(1.67))=\varPhi(2.42)+\varPhi(1.67)-1$。
    已知$Z_{0.0078}=-2.42$，则$\varPhi(2.42)=1 - 0.0078 = 0.9922$；$Z_{0.0475}=-1.67$，则$\varPhi(1.67)=1 - 0.0475 = 0.9525$。
    将$\varPhi(2.42)=0.9922$和$\varPhi(1.67)=0.9525$代入上式可得：
    $P(-1.67\leq Z\leq2.42)=0.9922 + 0.9525 - 1=0.9447\approx 94.5\%$