设X1,X2是随机变量,且 _(1)sim N(0,1), _(2)sim N((5.2)^2), 若_(i)=P(-2leqslant (X)_(i)leqslant 2)(i=1,2), 则-|||-() ←-|||-bigcirc A.无法确定-|||-bigcirc B. _(1)=(p)_(2)-|||-bigcirc C. _(1)lt (p)_(2)-|||-D. _(1)gt (p)_(2)

本题考查正态分布的性质以及概率的计算。解题的关键思路是利用正态分布的标准化变换，将不同参数的正态分布转化为标准正态分布，然后根据标准正态分布的性质计算相应区间的概率，最后比较两个概率的大小。

计算$P_1$

已知$X_1\sim N(0,1)$，即$X_1$服从标准正态分布。对于标准正态分布$N(0,1)$，其概率密度函数的分布函数记为$\varPhi(x)$。
根据概率的性质，$P_1 = P(-2\leqslant X_1\leqslant 2)$，可转化为$\varPhi(2) - \varPhi(-2)$。
由于标准正态分布的对称性，$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$，所以$\varPhi(-2)=1 - \varPhi(2)$。
则$P_1 = \varPhi(2) - (1 - \varPhi(2)) = 2\varPhi(2) - 1$。

计算$P_2$

已知$X_2\sim N(5,2^2)$，即$X_2$服从均值为$5$，方差为$2^2$的正态分布。
为了将其转化为标准正态分布，我们进行标准化变换，令$Z = \frac{X_2 - 5}{2}$，则$Z\sim N(0,1)$。
那么$P_2 = P(-2\leqslant X_2\leqslant 2)$，可转化为：
$\begin{align*}P_2&=P\left(\frac{-2 - 5}{2}\leqslant \frac{X_2 - 5}{2}\leqslant \frac{2 - 5}{2}\right)\\&=P\left(-\frac{7}{2}\leqslant Z\leqslant -\frac{3}{2}\right)\\&=\varPhi\left(-\frac{3}{2}\right) - \varPhi\left(-\frac{7}{2}\right)\end{align*}$
再根据标准正态分布的对称性$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$，可得：
$\begin{align*}P_2&=(1 - \varPhi\left(\frac{3}{2}\right)) - (1 - \varPhi\left(\frac{7}{2}\right))\\&=\varPhi\left(\frac{7}{2}\right) - \varPhi\left(\frac{3}{2}\right)\end{align*}$

比较$P_1$和$P_2$的大小

标准正态分布$\varPhi(x)$是单调递增函数，且$\varPhi(2)\gt{}\varPhi\left(\frac{3}{2}\right)$，$\varPhi(2)\lt{}\varPhi\left(\frac{7}{2}\right)$。
$P_1 = 2\varPhi(2) - 1$，$P_2 = \varPhi\left(\frac{7}{2}\right) - \varPhi\left(\frac{3}{2}\right)$。
因为$\varPhi(x)$在$x\gt{}0$时，随着$x$的增大，$\varPhi(x)$增大的幅度逐渐变小，所以$2\varPhi(2) - 1\gt{}\varPhi\left(\frac{7}{2}\right) - \varPhi\left(\frac{3}{2}\right)$，即$P_1 \gt P_2$。