已知某总体Xsim N(mu,4)，从中抽取容量为n的样本，bar(X)为样本均值。若要求E(|bar(X)-mu|)A. 253B. 254C. 255D. 256

本题考查正态分布的性质以及样本均值的期望和方差，解题的关键在于利用正态分布的标准化变换，结合绝对值期望的计算公式来求解样本容量。

1. 首先明确样本均值的分布：
   已知总体$X\sim N(\mu,4)$，从中抽取容量为$n$的样本，根据正态分布的性质，样本均值$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{4}{n})$。
2. 然后对$\bar{X}$进行标准化变换：
   令$Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\frac{4}{n}}}=\frac{\bar{X}-\mu}{2/\sqrt{n}}$，则$Z\sim N(0,1)$，且$\bar{X}-\mu=\frac{2}{\sqrt{n}}Z$。
3. 接着计算$E(|\bar{X}-\mu|)$：
   将$\bar{X}-\mu=\frac{2}{\sqrt{n}}Z$代入$E(|\bar{X}-\mu|)$可得$E(|\bar{X}-\mu|)=E\left(\left|\frac{2}{\sqrt{n}}Z\right|\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}E(|Z|)$。
   对于标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，其概率密度函数为$\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}$，根据期望的定义$E(|Z|)=\int_{-\infty}^{+\infty}|z|\varphi(z)dz$。
   由于$\varphi(z)$是偶函数，所以$E(|Z|)=2\int_{0}^{+\infty}z\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz$。
   令$t = \frac{z^{2}}{2}$，则$dt = zdz$，当$z = 0$时，$t = 0$；当$z\to+\infty$时，$t\to+\infty$。
   那么$E(|Z|)=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t}dt=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt$。
   根据指数函数积分公式$\int e^{-t}dt=-e^{-t}+C$，可得$\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\left[-e^{-t}\right]_{0}^{+\infty}=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}(0 + 1)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$。
   所以$E(|\bar{X}-\mu|)=\frac{2}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}=\sqrt{\frac{8}{n\pi}}$。
4. 最后求解样本容量$n$：
   已知$E(|\bar{X}-\mu|)\lt{}0.1$，即$\sqrt{\frac{8}{n\pi}}\lt{}0.1$。
   两边同时平方可得$\frac{8}{n\pi}\lt{}0.01$，则$n\gt{}\frac{8}{0.01\pi}$。
   将$\pi = 3.14$代入可得$n\gt{}\frac{8}{0.01\times3.14}=\frac{800}{3.14}\approx254.78$。
   因为$n$为样本容量，必须为正整数，所以$n$取$255$。