3.设X~N(1,4),Phi(0.5)=0.6915,Phi(1.5)=0.9332,则P(|X|>2)为( ).A. 0.2417;B. 0.3753;C. 0.3830;D. 0.8664.

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将给定的正态分布$X\sim N(1,4)$进行标准化变换，再利用正态分布的性质和已知的标准正态分布函数值$\varPhi(x)$来计算$P\{|X|\gt{}2\}$。

步骤一：对$P\{|X|\gt{}2\}$进行转化

根据绝对值不等式的性质，$\vert X\vert\gt{}2$等价于$X \gt 2$或$X \lt -2$，且这两个事件互斥，所以$P\{|X|\gt{}2\}=P\{X \gt 2\}+P\{X \lt -2\}$。

步骤二：对$X$进行标准化变换

已知$X\sim N(1,4)$，即$X$服从均值$\mu = 1$，方差$\sigma^2 = 4$（标准差$\sigma = 2$）的正态分布。
根据标准化公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，将$X$标准化为$Z=\frac{X - 1}{2}$，且$Z\sim N(0,1)$（标准正态分布）。

步骤三：分别计算$P\{X \gt 2\}$和$P\{X \lt -2\}$

• 计算$P\{X \gt 2\}$：
  将$X = 2$代入标准化公式可得$Z=\frac{2 - 1}{2}=0.5$，则$P\{X \gt 2\}=P\left\{\frac{X - 1}{2}\gt{}\frac{2 - 1}{2}\right\}=P\{Z \gt 0.5\}$。
  根据标准正态分布的性质$P\{Z \gt z\}=1 - \varPhi(z)$，所以$P\{Z \gt 0.5\}=1 - \varPhi(0.5)$。
  已知$\varPhi(0.5)=0.6915$，则$P\{X \gt 2\}=1 - 0.6915 = 0.3085$。
• 计算$P\{X \lt -2\}$：
  将$X = -2$代入标准化公式可得$Z=\frac{-2 - 1}{2}=-1.5$，则$P\{X \lt -2\}=P\left\{\frac{X - 1}{2}\lt{}\frac{-2 - 1}{2}\right\}=P\{Z \lt -1.5\}$。
  根据标准正态分布的性质$P\{Z \lt -z\}=1 - \varPhi(z)$，所以$P\{Z \lt -1.5\}=1 - \varPhi(1.5)$。
  已知$\varPhi(1.5)=0.9332$，则$P\{X \lt -2\}=1 - 0.9332 = 0.0668$。

步骤四：计算$P\{|X|\gt{}2\}$

将$P\{X \gt 2\}=0.3085$和$P\{X \lt -2\}=0.0668$代入$P\{|X|\gt{}2\}=P\{X \gt 2\}+P\{X \lt -2\}$可得：
$P\{|X|\gt{}2\}=0.3085 + 0.0668 = 0.3753$