设某种清漆的9个样品,其干燥时间(单位:h)分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布(mu ,(sigma )^2)。求(mu ,(sigma )^2)的置信度为0.95的置信区间。(1)若由以往经验知(mu ,(sigma )^2)=0.6(h),(2)若(mu ,(sigma )^2)为未知。

本题主要考查正态总体均值的置信区间的求解，需要根据总体方差是否已知选择不同的公式进行计算。

（1）若由以往经验知$\sigma = 0.6(h)$

当总体方差$\sigma^2$已知时，正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，其中$\overline{X}$是样本均值，$z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点，$n$是样本容量。

• 步骤一：计算样本均值$\overline{X}$
  已知样本数据为$6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0$，样本容量$n = 9$，根据样本均值公式$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$可得：
  $\begin{align*}\overline{X} &= \frac{1}{9}×(6.0 + 5.7 + 5.8 + 6.5 + 7.0 + 6.3 + 5.6 + 6.1 + 5.0)\\&= \frac{1}{9}×54\\&= 6\end{align*}$
• 步骤二：确定$z_{\frac{\alpha}{2}}$的值
  已知置信度为$0.95$，则$1 - \alpha = 0.95$，可得$\alpha = 0.05$，那么$\frac{\alpha}{2} = 0.025$。
  查标准正态分布表可得$z_{0.025} = 1.96$。
• 步骤三：计算置信区间
  将$\overline{X} = 6$，$z_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96$，$\sigma = 0.6$，$n = 9$代入置信区间公式$(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$可得：
  $\begin{align*}&\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 6 - 1.96×\frac{0.6}{\sqrt{9}}\\&= 6 - 1.96×0.2\\&= 6 - 0.392\\&= 5.608\end{align*}$
  $\begin{align*}&\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 6 + 1.96×\frac{0.6}{\sqrt{9}}\\&= 6 + 1.96×0.2\\&= 6 + 0.392\\&= 6.392\end{align*}$
  所以，置信度为$0.95$的置信区间为$(5.608, 6.392)$。

（2）若$\sigma$为未知

当总体方差$\sigma^2$未知时，正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$，其中$\overline{X}$是样本均值，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$是自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点，$S$是样本标准差，$n$是样本容量。

• 步骤一：计算样本均值$\overline{X}$
  由（1）可知$\overline{X} = 6$。
• 步骤二：计算样本标准差$S$
  根据样本标准差公式$S = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{X})^2}$可得：
  $\begin{align*}\sum_{i = 1}^{9}(x_i - \overline{X})^2&=(6.0 - 6)^2 + (5.7 - 6)^2 + (5.8 - 6)^2 + (6.5 - 6)^2 + (7.0 - 6)^2 + (6.3 - 6)^2 + (5.6 - 6)^2 + (6.1 - 6)^2 + (5.0 - 6)^2\\&= 0 + 0.09 + 0.04 + 0.25 + 1 + 0.09 + 0.16 + 0.01 + 1\\&= 2.64\end{align*}$
  则$S = \sqrt{\frac{1}{9 - 1}×2.64} = \sqrt{0.33} \approx 0.5745$。
• 步骤三：确定$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$的值
  已知$\alpha = 0.05$，$n = 9$，则自由度$n - 1 = 8$，查$t$分布表可得$t_{0.025}(8) = 2.306$。
• 步骤四：计算置信区间
  将$\overline{X} = 6$，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1) = 2.306$，$S \approx 0.5745$，$n = 9$代入置信区间公式$(\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$可得：
  $\begin{align*}&\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}} = 6 - 2.306×\frac{0.5745}{\sqrt{9}}\\&\approx 6 - 2.306×0.1915\\&\approx 6 - 0.4419\\&\approx 5.5619\end{align*}$
  $\begin{align*}&\overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}} = 6 + 2.306×\frac{0.5745}{\sqrt{9}}\\&\approx 6 + 2.306×0.1915\\&\approx 6 + 0.4419\\&\approx 6.4381\end{align*}$
  所以，置信度为$0.95$的置信区间为$(5.5619, 6.4381)$。