题目

2(x+z^2)dx+4 xy dy+zy dz = ( )，其中积分曲线2(x+z^2)dx+4 xy dy+zy dz =为维安尼曲2(x+z^2)dx+4 xy dy+zy dz =，若从x轴的正方向2(x+z^2)dx+4 xy dy+zy dz =1)" data-width="67" data-height="26" data-size="1140" data-format="png" style="max-width:100%">看去，此曲线是沿逆时针方向进行的。 A. 2(x+z^2)dx+4 xy dy+zy dz =B. 2(x+z^2)dx+4 xy dy+zy dz =C. 2(x+z^2)dx+4 xy dy+zy dz =D. 2(x+z^2)dx+4 xy dy+zy dz =

$\int_{\Gamma} 2\left(x+z^{2}\right) \mathrm{d} x+4 x y \mathrm{~d} y+z y \mathrm{~d} z=$ ( )，其中积分曲线 $\Gamma$ 为维安尼曲 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \quad ，x^{2}+y^{2}=x \quad(z \geq 0)$ ，若从x轴的正方向 $(x>1)$ 看去，此曲线是沿逆时针方向进行的。

A. $\frac{1}{2}\pi$

B. $\frac{1}{4}\pi$

C. $\frac{1}{8}\pi$

D. $\frac{1}{10}\pi$

题目解答

答案

首先，我们考虑给定的向量场

$\mathbf{F} = 2(x+z^{2}) \mathbf{i} + 4xy \mathbf{j} + zy \mathbf{k}$ 我们需要找到一个向量函数 $\mathbf{r}(t)$ 来描述曲线 $\Gamma$ 。

由 $x^2+y^2+z^2=1$ 和 $x^2+y^2=x$ ，我们可以消去 z，得到

$x^2+y^2=x$ 和 $z^2=1-x^2-y^2$

由于 $z\ge0$ ，我们取 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 。

接下来，我们用 x 和 y 的关系 $x^2+y^2=x$ 来表示 y。由于 $\Gamma$ 是从 x 轴的正方向看去沿逆时针方向进行的，我们可以选择 y 的正根，即

$y=\sqrt{x-x^2}$

现在，我们可以写出 $\mathbf{r}(t)$ 为

$\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} t \\ \sqrt{t - t^{2}} \\ \sqrt{1 - t^{2} - (t - t^{2})} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ \sqrt{t - t^{2}} \\ \sqrt{1 - t} \end{pmatrix}, \quad t \in [0, 1]$

接下来，我们需要计算 $\mathbf{r}'(t)$ ：

$\mathbf{r}'(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1 - 2t}{2\sqrt{t - t^{2}}} \\ -\frac{1}{2\sqrt{1 - t}} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1 - 2t}{2\sqrt{t(1-t)}} \\ -\frac{1}{2\sqrt{1 - t}} \end{pmatrix}$

现在，我们可以计算 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{r}'(t)$ ：

$\mathbf{F} \cdot \mathbf{r}'(t) = 2(t + (1 - t)) \cdot 1 +$ $4t\sqrt{t - t^{2}} \cdot \frac{1 - 2t}{2\sqrt{t(1-t)}} +$ $\sqrt{1 - t} \cdot \sqrt{t - t^{2}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{1 - t}}) = 2 + 2t(1 - 2t)$ $-\frac{1}{2}\sqrt{t-t^2}$

最后，我们计算线积分：

$\int_{\Gamma}^{ }\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}\mathbf{r}=$ $\int_{0}^{1} \left( 2 + 2t(1 - 2t) - \frac{1}{2}\sqrt{t - t^{2}} \right) \, dt$

$= \left[ 2t + t^{2} - \frac{2}{3}t^{3} - \frac{1}{6}\arcsin(2t - 1) \right]_{0}^{1}$

$=\frac{1}{2}\pi$

故答案为：A. $\frac{1}{2}\pi$