设n个随机变量X_1,X_2,ldots,X_n独立同分布，且D(X_1)=sigma^2，overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^n X_i，S^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2，则(）.A. S与overline(X)相互独立B. S是sigma的极大似然估计量C. S是sigma的无偏估计量D. S^2是sigma^2的无偏估计量

本题主要考查了随机变量的独立性、极大似然估计量以及无偏估计量的相关知识。解题的关键在于对各个选项所涉及的概念和性质进行分析和计算。

选项A

一般情况下，仅知道$X_1,X_2,\ldots,X_n$独立同分布，并不能得出$S$与$\overline{X}$相互独立。只有当总体服从正态分布时，样本均值$\overline{X}$与样本方差$S^2$才相互独立，而本题未提及总体服从正态分布，所以不能确定$S$与$\overline{X}$相互独立，故选项A错误。

选项B

极大似然估计是通过构造似然函数并求其最大值点来得到参数的估计量。对于本题，要判断$S$是否为$\sigma$的极大似然估计量，需要根据总体的分布构造似然函数。但本题未给出总体的分布，无法进行极大似然估计的计算，所以不能确定$S$是$\sigma$的极大似然估计量，故选项B错误。

选项C

要判断$S$是否为$\sigma$的无偏估计量，需计算$E(S)$是否等于$\sigma$。
已知$S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，且$E(S^2)=\sigma^2$。
根据方差的性质$D(S)=E(S^2)-[E(S)]^2$，由于$S$是随机变量，$D(S)\geq0$，即$E(S^2)-[E(S)]^2\geq0$，将$E(S^2)=\sigma^2$代入可得$\sigma^2 - [E(S)]^2\geq0$，所以$[E(S)]^2\leq\sigma^2$，即$|E(S)|\leq\sigma$，一般情况下$E(S)\neq\sigma$，所以$S$不是$\sigma$的无偏估计量，故选项C错误。

选项D

根据样本方差的性质，对于独立同分布的随机变量$X_1,X_2,\ldots,X_n$，样本方差$S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计量，即$E(S^2)=\sigma^2$。
下面进行详细证明：
$\begin{align*}E(S^2)&=E\left[\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]\\&=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i^2 - 2X_i\overline{X} + \overline{X}^2)\right]\\&=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 - 2\overline{X}\sum_{i = 1}^{n}X_i + n\overline{X}^2\right]\\&=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 - 2n\overline{X}^2 + n\overline{X}^2\right]\\&=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 - n\overline{X}^2\right]\\&=\frac{1}{n - 1}\left[\sum_{i = 1}^{n}E(X_i^2) - nE(\overline{X}^2)\right]\end{align*}$
因为$D(X_i)=E(X_i^2)-[E(X_i)]^2=\sigma^2$，所以$E(X_i^2)=\sigma^2 + [E(X_i)]^2$。
又因为$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，所以$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)=E(X_1)$，$D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)=\frac{\sigma^2}{n}$。
则$E(\overline{X}^2)=D(\overline{X}) + [E(\overline{X})]^2=\frac{\sigma^2}{n} + [E(X_1)]^2$。
将$E(X_i^2)=\sigma^2 + [E(X_i)]^2$和$E(\overline{X}^2)=\frac{\sigma^2}{n} + [E(X_1)]^2$代入上式可得：
$\begin{align*}E(S^2)&=\frac{1}{n - 1}\left[n(\sigma^2 + [E(X_1)]^2) - n\left(\frac{\sigma^2}{n} + [E(X_1)]^2\right)\right]\\&=\frac{1}{n - 1}\left[n\sigma^2 + n[E(X_1)]^2 - \sigma^2 - n[E(X_1)]^2\right]\\&=\frac{1}{n - 1}(n\sigma^2 - \sigma^2)\\&=\frac{1}{n - 1}(n - 1)\sigma^2\\&=\sigma^2\end{align*}$
所以$S^2$是$\sigma^2$的无偏估计量，故选项D正确。