22、求曲线 xy=1 与直线 y=-x+2,y=4x 所围成图形的面积.

求曲线 $xy=1$ 与直线 $y=-x+2$，$y=4x$ 所围成的图形面积。 **步骤：** 1. **求交点：** - 与 $y=4x$ 交于 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$； - 与 $y=-x+2$ 交于 $(1, 1)$； - 两直线交于 $\left(\frac{2}{5}, \frac{8}{5}\right)$。 2. **分段积分：** - 从 $x=\frac{1}{2}$ 到 $x=\frac{2}{5}$，直线 $y=4x$ 在曲线上方； - 从 $x=\frac{2}{5}$ 到 $x=1$，直线 $y=-x+2$ 在曲线上方。 3. **计算面积：** \[ S = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{5}} \left(4x - \frac{1}{x}\right) \, dx + \int_{\frac{2}{5}}^{1} \left[(-x + 2) - \frac{1}{x}\right] \, dx = \boxed{\frac{14}{5} - \ln 5} \]