题目

已知一元二次函数的图像的顶点坐标为(1,2)，并且经过点P(3,-4)，求：（1）函数的解析式；（2）函数图像的对称轴（3）函数单调减的区间。

已知一元二次函数 $f\left(x\right)$ 的图像的顶点坐标为(1,2)，并且经过点P(3,-4)，求：

（1）函数 $f\left(x\right)$ 的解析式；

（2）函数图像的对称轴

（3）函数单调减的区间。

题目解答

（1）根据题意，可设函数 $f\left(x\right)=a\left(x-h\right)^2+k$

∵函数 $f\left(x\right)$ 的图像的顶点坐标为(1,2)

∴ $f\left(x\right)=a\left(x-1\right)^2+2$

又∵函数 $f\left(x\right)$ 的图像经过点P(3,-4)

∴ $-4=a\left(3-1\right)^2+2$

解得 $a=-\frac{3}{2}$

∴ $f\left(x\right)=-\frac{3}{2}\left(x-1\right)^2+2=-\frac{3}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}$

∴函数 $f\left(x\right)$ 的解析式为： $f\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}$

（2）由（1）可知 $f\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}$

∴ $a=-\frac{3}{2},b=3,c=\frac{1}{2}$

∴函数 $f\left(x\right)$ 的对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\times\left(-\frac{3}{2}\right)}=1$

即函数 $f\left(x\right)$ 的对称轴为x=1.

（3）由（1）（2）可知 $f\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}$ ，函数 $f\left(x\right)$ 的对称轴为 $x=1$ 且 $a=-\frac{3}{2}<0$

∴函数 $f\left(x\right)$ 的图像开口向下

∴函数单调减的区间为 $\left(1，+\infty\right)$ .

考查要点：本题主要考查一元二次函数的顶点式、对称轴公式及单调性判断。
解题思路：

第（1）题

设顶点式

由顶点坐标$(1,2)$，设函数为：
$f(x) = a(x-1)^2 + 2$

代入点$P(3,-4)$

将点$(3,-4)$代入方程：
$-4 = a(3-1)^2 + 2 \implies -4 = 4a + 2$
解得：
$a = \frac{-4 - 2}{4} = -\frac{3}{2}$

写出解析式

代入$a$的值，展开为一般式：
$f(x) = -\frac{3}{2}(x-1)^2 + 2 = -\frac{3}{2}x^2 + 3x + \frac{1}{2}$

第（2）题

对称轴公式

对称轴为顶点横坐标，直接得：
$x = 1$

第（3）题

开口方向判断

二次项系数$a = -\frac{3}{2} < 0$，抛物线开口向下。

单调区间

开口向下时，对称轴右侧（$x > 1$）函数单调递减，故单调减区间为：
$(1, +\infty)$