题目
设 f(x, y) 在原点某邻域 D 连续，区域 D: x^2 + y^2 leq t^2 在该邻域内， F(t)= iint_(D) f(x, y), dsigma 的值是 lim_(t to 0^+) (F(t))/(t^2) = ( ) A. pi f(0, 0)B. piC. pi A, A 为 D 的面积D. 不存在
设 $f(x, y)$ 在原点某邻域 $D$ 连续，区域 $D: x^2 + y^2 \leq t^2$ 在该邻域内，
$F(t)= \iint_{D} f(x, y)\, d\sigma$
的值是 $\lim_{t \to 0^+} \frac{F(t)}{t^2} = (\quad)$
- A. $\pi f(0, 0)$
- B. $\pi$
- C. $\pi A$, $A$ 为 $D$ 的面积
- D. 不存在
题目解答
答案
由二重积分中值定理，存在点 $(\xi, \eta) \in D$，使得
\[
F(t) = f(\xi, \eta) \cdot \pi t^2,
\]
其中 $D$ 的面积为 $\pi t^2$。当 $t \to 0^+$ 时，$(\xi, \eta) \to (0,0)$，由 $f(x,y)$ 的连续性，
\[
\lim_{t \to 0^+} f(\xi, \eta) = f(0,0).
\]
因此，
\[
\lim_{t \to 0^+} \frac{F(t)}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \pi f(\xi, \eta) = \pi f(0,0).
\]
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：应用二重积分中值定理
根据二重积分中值定理，对于连续函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上，存在点 $(\xi, \eta) \in D$，使得 \[ F(t) = f(\xi, \eta) \cdot \pi t^2, \] 其中 $D$ 的面积为 $\pi t^2$。
步骤 2：考虑 $t \to 0^+$ 时的极限
当 $t \to 0^+$ 时，区域 $D$ 收缩至原点，因此 $(\xi, \eta) \to (0,0)$。由于 $f(x,y)$ 在原点某邻域内连续，可以得到 \[ \lim_{t \to 0^+} f(\xi, \eta) = f(0,0). \]
步骤 3：计算极限
根据步骤 2 的结论，可以计算出 \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{F(t)}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \pi f(\xi, \eta) = \pi f(0,0). \]
根据二重积分中值定理，对于连续函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上，存在点 $(\xi, \eta) \in D$，使得 \[ F(t) = f(\xi, \eta) \cdot \pi t^2, \] 其中 $D$ 的面积为 $\pi t^2$。
步骤 2：考虑 $t \to 0^+$ 时的极限
当 $t \to 0^+$ 时，区域 $D$ 收缩至原点，因此 $(\xi, \eta) \to (0,0)$。由于 $f(x,y)$ 在原点某邻域内连续，可以得到 \[ \lim_{t \to 0^+} f(\xi, \eta) = f(0,0). \]
步骤 3：计算极限
根据步骤 2 的结论，可以计算出 \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{F(t)}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \pi f(\xi, \eta) = \pi f(0,0). \]