题目
2、设A为n阶矩阵, geqslant 3 , A= (} 1& a& a& a& a a& 1& a& -a a& 1& a& 1 a& a& a& a a& a& a& ... 1 ) .-|||-(1)计算|A|;-|||-(2)若 R(A)=n-1 ,求a的值.
题目解答
答案
【】
步骤 1：计算行列式|A|
首先，我们观察矩阵A的结构，发现除了第一行和第一列外，其余元素均为a。为了简化计算，我们可以利用行列式的性质，将第一行和第一列的元素减去其余行和列的元素，这样可以将矩阵A化简为一个更简单的形式。
步骤 2：化简行列式
将第一行减去其余行，将第一列减去其余列，得到新的矩阵B，其中B的第一行和第一列的元素为1-a，其余元素为0。这样，行列式|A|就等于行列式|B|。
步骤 3：计算行列式|B|
由于矩阵B的结构非常简单，我们可以直接计算行列式|B|。由于B的主对角线上的元素为1-a，其余元素为0，所以行列式|B|等于(1-a)的n次方。
步骤 4：求a的值
根据题意，R(A)=n-1，即矩阵A的秩为n-1。由于矩阵A的秩等于其行列式的非零特征值的个数，所以行列式|A|必须为0。因此，我们可以得到(1-a)的n次方等于0，从而求出a的值。
【答案】
(1) |A| = (1-a)^n
(2) a = 1
步骤 1：计算行列式|A|
首先，我们观察矩阵A的结构，发现除了第一行和第一列外，其余元素均为a。为了简化计算，我们可以利用行列式的性质，将第一行和第一列的元素减去其余行和列的元素，这样可以将矩阵A化简为一个更简单的形式。
步骤 2：化简行列式
将第一行减去其余行，将第一列减去其余列，得到新的矩阵B，其中B的第一行和第一列的元素为1-a，其余元素为0。这样，行列式|A|就等于行列式|B|。
步骤 3：计算行列式|B|
由于矩阵B的结构非常简单，我们可以直接计算行列式|B|。由于B的主对角线上的元素为1-a，其余元素为0，所以行列式|B|等于(1-a)的n次方。
步骤 4：求a的值
根据题意，R(A)=n-1，即矩阵A的秩为n-1。由于矩阵A的秩等于其行列式的非零特征值的个数，所以行列式|A|必须为0。因此，我们可以得到(1-a)的n次方等于0，从而求出a的值。
【答案】
(1) |A| = (1-a)^n
(2) a = 1
解析
步骤 1：计算行列式|A|
首先，我们观察矩阵A的结构，发现除了第一行和第一列外，其余元素均为a。为了简化计算，我们可以利用行列式的性质，将第一行和第一列的元素减去其余行和列的元素，这样可以将矩阵A化简为一个更简单的形式。
步骤 2：化简行列式
将第一行减去其余行，将第一列减去其余列，得到新的矩阵B，其中B的第一行和第一列的元素为1-a，其余元素为0。这样，行列式|A|就等于行列式|B|。
步骤 3：计算行列式|B|
由于矩阵B的结构非常简单，我们可以直接计算行列式|B|。由于B的主对角线上的元素为1-a，其余元素为0，所以行列式|B|等于(1-a)的n次方。
步骤 4：求a的值
根据题意，R(A)=n-1，即矩阵A的秩为n-1。由于矩阵A的秩等于其行列式的非零特征值的个数，所以行列式|A|必须为0。因此，我们可以得到(1-a)的n次方等于0，从而求出a的值。
首先，我们观察矩阵A的结构，发现除了第一行和第一列外，其余元素均为a。为了简化计算，我们可以利用行列式的性质，将第一行和第一列的元素减去其余行和列的元素，这样可以将矩阵A化简为一个更简单的形式。
步骤 2：化简行列式
将第一行减去其余行，将第一列减去其余列，得到新的矩阵B，其中B的第一行和第一列的元素为1-a，其余元素为0。这样，行列式|A|就等于行列式|B|。
步骤 3：计算行列式|B|
由于矩阵B的结构非常简单，我们可以直接计算行列式|B|。由于B的主对角线上的元素为1-a，其余元素为0，所以行列式|B|等于(1-a)的n次方。
步骤 4：求a的值
根据题意，R(A)=n-1，即矩阵A的秩为n-1。由于矩阵A的秩等于其行列式的非零特征值的个数，所以行列式|A|必须为0。因此，我们可以得到(1-a)的n次方等于0，从而求出a的值。