9.设随机变量X的概率密度为 f(x)= 出现的次数,则 Y=2 = __ __.

考查要点：本题主要考查概率密度函数的应用和二项分布的概率计算。
解题思路：

1. 确定事件概率：首先计算单次独立试验中事件$\{X \leqslant \frac{1}{2}\}$发生的概率$p$，即通过积分概率密度函数得到。
2. 应用二项分布公式：由于Y表示三次独立试验中事件发生的次数，Y服从二项分布$B(3,p)$，利用二项分布公式计算$P\{Y=2\}$。

关键点：

• 正确计算概率$p$是解题的核心，需通过积分概率密度函数求解。
• 二项分布公式的应用需注意组合数和概率的幂次关系。

步骤1：计算事件$\{X \leqslant \frac{1}{2}\}$的概率$p$

根据概率密度函数$f(x)$，事件$\{X \leqslant \frac{1}{2}\}$的概率为：
$p = P\left(X \leqslant \frac{1}{2}\right) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2x \, dx$

计算积分：
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 0^2 = \frac{1}{4}$

因此，$p = \frac{1}{4}$。

步骤2：应用二项分布公式计算$P\{Y=2\}$

Y服从二项分布$B(3,p)$，其概率质量函数为：
$P\{Y=k\} = C(3,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{3-k}$

代入$k=2$和$p=\frac{1}{4}$：
$P\{Y=2\} = C(3,2) \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{4} \right)^{1}$

计算组合数和各部分：
$C(3,2) = 3, \quad \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}, \quad \left( \frac{3}{4} \right)^1 = \frac{3}{4}$

最终结果：
$P\{Y=2\} = 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$