2.(单选题) 若函数z=f(x,y)在点P_(0)(x_(0),y_(0))处两个偏导数(partial z)/(partial x)和(partial z)/(partial y)存在，则在P_(0)处（）A. 连续B. 可微C. 不一定连续D. 不一定不连续

本题考查函数偏导数存在与函数连续性之间的关系。解题思路是通过明确偏导数存在和函数连续的定义，然后分析两者之间的逻辑联系，同时可以借助反例来进一步说明。

1. 明确偏导数存在和函数连续的定义

• 函数$z = f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}$定义为：$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$。
• 函数$z = f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处连续的定义为：$\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，即$\lim\limits_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0}f(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y)=f(x_0,y_0)$。

2. 分析偏导数存在与函数连续的关系

偏导数存在只能说明函数在$x$方向和$y$方向上的变化情况，而函数连续要求函数在点$(x_0,y_0)$的邻域内整体的极限情况。仅仅知道函数在$x$和$y$方向上的偏导数存在，并不能保证函数在该点的极限存在且等于该点的函数值。

3. 举例说明

考虑函数$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},(x,y)\neq(0,0)\\0,(x,y)=(0,0)\end{cases}$。

• 计算$f(x,y)$在$(0,0)$处对$x$的偏导数：
  $\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(0,0)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(0 + \Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x\cdot0}{(\Delta x)^{2}+0^{2}} - 0}{\Delta x}=0$。
• 计算$f(x,y)$在$(0,0)$处对$y$的偏导数：
  $\frac{\partial f}{\partial y}\big|_{(0,0)}=\lim\limits_{\Delta y \to 0}\frac{f(0,0 + \Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim\limits_{\Delta y \to 0}\frac{\frac{0\cdot\Delta y}{0^{2}+(\Delta y)^{2}} - 0}{\Delta y}=0$。
• 再判断函数在$(0,0)$处的连续性：
  令$y = kx$，则$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=\lim\limits_{x \to 0}\frac{x\cdot kx}{x^{2}+(kx)^{2}}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{kx^{2}}{x^{2}(1 + k^{2})}=\frac{k}{1 + k^{2}}$，极限值与$k$有关，所以$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$不存在，函数在$(0,0)$处不连续。
  这表明函数在某点偏导数存在时，函数不一定连续。