3.（单选题，5.0分）5. 1^sqrt(2)=（ ）A. e^sqrt(2)kpi i(k=0,pm1,pm2,dots)B. e^2sqrt(2)(k+1)pi i(k=0,pm1,pm2,dots)C. e^2sqrt(2)kpi i(k=0,pm1,pm2,dots)D. e^sqrt(2)(k+1)pi i(k=0,pm1,pm2,dots)

本题考查复数指数幂的计算，解题的关键在于利用复数的指数形式以及欧拉公式$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$来计算$1^{\sqrt{2}}$。

步骤一：将$1$转化为复数的指数形式

在复平面内，$1$可以表示为$1 = \cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)$，其中$k = 0,\pm1,\pm2,\cdots$。
根据欧拉公式$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$，可得$1 = e^{2k\pi i}$，$k = 0,\pm1,\pm2,\cdots$。

步骤二：计算$1^{\sqrt{2}}$

将$1 = e^{2k\pi i}$代入$1^{\sqrt{2}}$，可得：
$1^{\sqrt{2}}=(e^{2k\pi i})^{\sqrt{2}}$
根据指数运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，则$(e^{2k\pi i})^{\sqrt{2}}=e^{2\sqrt{2}k\pi i}$，其中$k = 0,\pm1,\pm2,\cdots$。