【94】函数f(x)=(|x|sin(x-2))/(x(x-1)(x-2)^2)在下列哪个区间内有界____.A. (-1, 0)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (2, 3)

考查要点：本题主要考查函数在区间内的有界性判断，需结合分母的奇点位置及函数在区间内的连续性进行分析。

解题核心思路：

1. 识别奇点：分母为零的点（x=0,1,2）是函数的奇点，需判断这些点是否在区间内或区间端点附近。
2. 分析函数行为：在区间内，若函数连续且无奇点，则可能有界；若靠近奇点导致分母趋近于零而分子不为零，则函数无界。
3. 排除法：逐一分析选项区间是否包含奇点或靠近奇点，判断函数是否趋向无穷大。

破题关键：

• 奇点位置：x=0,1,2是分母的零点，需重点关注。
• 极限分析：当x趋近于奇点时，若函数绝对值趋向无穷大，则该区间无界。

选项分析

选项A：(-1,0)

• 奇点情况：区间内不含x=0,1,2。
• 函数简化：x为负，|x|=-x，函数变为：
  $f(x) = \frac{-\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$
• 极限分析：
  • 当$x \to -1^+$或$x \to 0^-$时，分母不为零且有下界，分子有界（因$\sin(x-2)$有界），故函数有界。

选项B：(0,1)

• 奇点情况：区间内不含x=0,2，但靠近x=1。
• 函数简化：x为正，|x|=x，函数变为：
  $f(x) = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$
• 极限分析：
  • 当$x \to 1^-$时，分母$(x-1) \to 0$，分子趋近于$\sin(-1) \neq 0$，故函数绝对值趋向无穷大，无界。

选项C：(1,2)

• 奇点情况：区间内不含x=0,1,2，但靠近x=1和x=2。
• 函数简化：x为正，|x|=x，函数变为：
  $f(x) = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$
• 极限分析：
  • 当$x \to 1^+$时，分母$(x-1) \to 0$，分子趋近于$\sin(-1) \neq 0$，函数无界。
  • 当$x \to 2^-$时，分母$(x-2)^2 \to 0$，分子$\sin(x-2) \approx (x-2)$，函数近似为$\frac{1}{x-2}$，绝对值趋向无穷大。

选项D：(2,3)

• 奇点情况：区间内不含x=0,1,2，但靠近x=2。
• 函数简化：x为正，|x|=x，函数变为：
  $f(x) = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$
• 极限分析：
  • 当$x \to 2^+$时，分母$(x-2)^2 \to 0$，分子$\sin(x-2) \approx (x-2)$，函数近似为$\frac{1}{x-2}$，绝对值趋向无穷大，无界。