题目
int_(ABO) (mathrm(e)^x sin y - my), dx + (mathrm(e)^x cos y - m), dy = ( )，其中积分曲线 overrightarrow(ABO) 为由点 A(a, 0) 到点 O(0, 0) 的上半圆周 x^2 + y^2 = ax。 A. (pi ma^2)/(2)B. (pi ma^2)/(4)C. (pi ma^2)/(16)D. (pi ma^2)/(8)
$\int_{ABO} (\mathrm{e}^x \sin y - my)\, dx + (\mathrm{e}^x \cos y - m)\, dy = (\quad)$，其中积分曲线 $\overrightarrow{ABO}$ 为由点 $A(a, 0)$ 到点 $O(0, 0)$ 的上半圆周 $x^2 + y^2 = ax$。
- A. $\frac{\pi ma^2}{2}$
- B. $\frac{\pi ma^2}{4}$
- C. $\frac{\pi ma^2}{16}$
- D. $\frac{\pi ma^2}{8}$
题目解答
答案
设 $P = e^x \sin y - my$，$Q = e^x \cos y - m$，则
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m.
\]
应用格林公式于闭曲线 $\widehat{ABO} + \overline{OA}$（$\overline{OA}$ 为x轴线段），得
\[
\oint_{\widehat{ABO} + \overline{OA}} P \, dx + Q \, dy = m \iint_D dA = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}.
\]
由于 $\overline{OA}$ 上 $y = 0$，积分值为0，故
\[
\int_{\widehat{ABO}} P \, dx + Q \, dy = \frac{\pi m a^2}{8}.
\]
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：定义 $P$ 和 $Q$
设 $P = e^x \sin y - my$，$Q = e^x \cos y - m$。
步骤 2：计算 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$
计算得到 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m$。
步骤 3：应用格林公式
应用格林公式于闭曲线 $\widehat{ABO} + \overline{OA}$（$\overline{OA}$ 为x轴线段），得 \[ \oint_{\widehat{ABO} + \overline{OA}} P \, dx + Q \, dy = m \iint_D dA = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}. \]
步骤 4：考虑 $\overline{OA}$ 上的积分
由于 $\overline{OA}$ 上 $y = 0$，积分值为0，故 \[ \int_{\widehat{ABO}} P \, dx + Q \, dy = \frac{\pi m a^2}{8}. \]
设 $P = e^x \sin y - my$，$Q = e^x \cos y - m$。
步骤 2：计算 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$
计算得到 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m$。
步骤 3：应用格林公式
应用格林公式于闭曲线 $\widehat{ABO} + \overline{OA}$（$\overline{OA}$ 为x轴线段），得 \[ \oint_{\widehat{ABO} + \overline{OA}} P \, dx + Q \, dy = m \iint_D dA = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}. \]
步骤 4：考虑 $\overline{OA}$ 上的积分
由于 $\overline{OA}$ 上 $y = 0$，积分值为0，故 \[ \int_{\widehat{ABO}} P \, dx + Q \, dy = \frac{\pi m a^2}{8}. \]