13.设 sum _(i=1)^infty (a)_(n)=1, 则 sum _(n=1)^infty ((a)_(n)-2(a)_(n+1))= __

考查要点：本题主要考查无穷级数的性质及求和技巧，特别是对级数拆分与重新组合的理解。

解题核心思路：将所求级数拆分为两个已知或可处理的级数之差，利用已知条件$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = 1$，通过调整求和项的起始位置，建立与原级数的关系。

破题关键点：

1. 拆分级数：将$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - 2a_{n+1})$拆分为$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$与$-2\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}$。
2. 调整求和范围：注意到$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}$实际上是原级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$去掉首项$a_1$后的和，即$\sum_{n=2}^{\infty} a_n = 1 - a_1$。
3. 代数运算：将拆分后的两部分代入已知条件，通过代数运算化简得到最终结果。

将所求级数拆分为两部分：
$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - 2a_{n+1}) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n - 2\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}$

处理第二个求和项：

• $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}$的求和项为$a_2, a_3, a_4, \dots$，即原级数去掉首项$a_1$后的和：
  $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1} = \sum_{n=2}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n - a_1 = 1 - a_1$

代入并化简：
$\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - 2a_{n+1}) &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n - 2(1 - a_1) \\&= 1 - 2 + 2a_1 \\&= 2a_1 - 1\end{aligned}$