题目

31.(填空题)设 P(A|B)=P(B|A)=(1)/(2),P(A)=(1)/(3), 则 P(A∪B)=____。

31.(填空题)设 P(A|B)=P(B|A)=\frac{1}{2},P(A)=\frac{1}{3}, 则 P(A∪B)=____。

题目解答

答案

由题意，已知 $P(A|B) = P(B|A) = \frac{1}{2}$，$P(A) = \frac{1}{3}$。根据条件概率公式：
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}, \quad P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2}.$
由 $P(B|A) = \frac{1}{2}$，可得：
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}.$
再由 $P(A|B) = \frac{1}{2}$，可得：
$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A|B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}.$
根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

本题主要考查条件概率公式以及概率的加法公式。解题的关键在于利用已知的条件概率和事件$A$的概率，通过条件概率公式求出$P(A\cap B)$和$P(B)$，最后再利用概率加法公式计算$P(A\cup B)$。

  1. 根据条件概率公式求出$P(A\cap B)$：
    已知条件概率公式$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$，题目中给出$P(B|A)=\frac{1}{2}$，$P(A)=\frac{1}{3}$，将其代入公式可得：
    $P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
  2. 根据条件概率公式求出$P(B)$：
    已知条件概率公式$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$，题目中给出$P(A|B)=\frac{1}{2}$，由上一步已求得$P(A\cap B)=\frac{1}{6}$，将其代入公式可得：
    $P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A|B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}\times2=\frac{1}{3}$
  3. 根据概率加法公式求出$P(A\cup B)$：
    概率加法公式为$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$，将$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{3}$，$P(A\cap B)=\frac{1}{6}$代入公式可得：
    $P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$