题目
4.(2024·新课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=-|||-.(x+a)ln (x+b) ,若 (x)geqslant 0 ,则 ^2+(b)^2 的-|||-最小值为 ()-|||-A. dfrac (1)(8) . B. dfrac (1)(4) . C. dfrac (1)(2) . D.1
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数 $f(x)$ 的性质
函数 $f(x) = (x + a) \ln (x + b)$ 需要满足 $f(x) \geqslant 0$。这意味着 $(x + a)$ 和 $\ln (x + b)$ 必须同号，即它们同时为正或同时为负。
步骤 2：确定函数的零点
为了使 $f(x) \geqslant 0$，我们需要找到 $(x + a)$ 和 $\ln (x + b)$ 的零点。令 $(x + a) = 0$，得到 $x = -a$。令 $\ln (x + b) = 0$，得到 $x + b = 1$，即 $x = 1 - b$。因此，$-a = 1 - b$，即 $b = a + 1$。
步骤 3：求 ${a}^{2} + {b}^{2}$ 的最小值
将 $b = a + 1$ 代入 ${a}^{2} + {b}^{2}$，得到：
\[
{a}^{2} + {b}^{2} = {a}^{2} + {(a + 1)}^{2} = {a}^{2} + {a}^{2} + 2a + 1 = 2{a}^{2} + 2a + 1
\]
这是一个关于 $a$ 的二次函数，其最小值可以通过求导或配方法得到。配方法如下：
\[
2{a}^{2} + 2a + 1 = 2\left({a}^{2} + a + \frac{1}{2}\right) = 2\left({a}^{2} + a + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) = 2\left({(a + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}\right) = 2{(a + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}
\]
当 $a = -\frac{1}{2}$ 时，${a}^{2} + {b}^{2}$ 取得最小值 $\frac{1}{2}$。
函数 $f(x) = (x + a) \ln (x + b)$ 需要满足 $f(x) \geqslant 0$。这意味着 $(x + a)$ 和 $\ln (x + b)$ 必须同号，即它们同时为正或同时为负。
步骤 2：确定函数的零点
为了使 $f(x) \geqslant 0$，我们需要找到 $(x + a)$ 和 $\ln (x + b)$ 的零点。令 $(x + a) = 0$，得到 $x = -a$。令 $\ln (x + b) = 0$，得到 $x + b = 1$，即 $x = 1 - b$。因此，$-a = 1 - b$，即 $b = a + 1$。
步骤 3：求 ${a}^{2} + {b}^{2}$ 的最小值
将 $b = a + 1$ 代入 ${a}^{2} + {b}^{2}$，得到：
\[
{a}^{2} + {b}^{2} = {a}^{2} + {(a + 1)}^{2} = {a}^{2} + {a}^{2} + 2a + 1 = 2{a}^{2} + 2a + 1
\]
这是一个关于 $a$ 的二次函数，其最小值可以通过求导或配方法得到。配方法如下：
\[
2{a}^{2} + 2a + 1 = 2\left({a}^{2} + a + \frac{1}{2}\right) = 2\left({a}^{2} + a + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) = 2\left({(a + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}\right) = 2{(a + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}
\]
当 $a = -\frac{1}{2}$ 时，${a}^{2} + {b}^{2}$ 取得最小值 $\frac{1}{2}$。