已知椭圆C：((x)^2)/((a)^2)+((y)^2)/((b)^2)=1（a＞b＞0）的离心率为(2sqrt(2))/(3)，椭圆下顶点为A，右顶点为B，|AB|=sqrt(10)．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|•|AP|=3．（i）设P（m,n），求点R的坐标（用m,n表示）；（ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线的OP斜率的3倍，求|PQ|的最大值．

（1）由题意知，A（0，-b），B（a,0），所以|AB|=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\sqrt{10}$，所以a²+b²=10；
又因为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a,所以c²=a²-b²=$\frac{8}{9}$a²，所以a²=9b²；
所以b²=1，a²=9，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）（i）设点P（m,n），R（x,y），由题意知，A（0，-1），|$\overrightarrow{AP}$|•|$\overrightarrow{AR}$|=3，$\overrightarrow{AP}$=（m,n+1），$\overrightarrow{AR}$=（x,y+1），其中m≠0；
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AR}$=3，即mx+（n+1）y=2-n①，
又因为R在AP上，所以y=$\frac{n+1}{m}$x-1，即（n+1）x-my=m②；
由①②联立求解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3m}{{m}^{2}{+（n+1）}^{2}}}\\{y=\frac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{{m}^{2}{+（n+1）}^{2}}}\end{array}\right.$，
所以点R的坐标为（$\frac{3m}{{m}^{2}{+（n+1）}^{2}}$，$\frac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{{m}^{2}{+（n+1）}^{2}}$）；
（ii）直线OR的斜率为k₁=$\frac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{3m}$，直线OP的斜率为k₂=$\frac{n}{m}$，
若k₁=3k₂，则$\frac{{-m}^{2}{-n}^{2}+n+2}{3m}$=$\frac{3n}{m}$，即m²+（n+4）²=18，
所以点P在以（0，-4）为圆心，3$\sqrt{2}$为半径的圆上，又Q为椭圆x²+9y²=9上一点，
设Q（x,y），所以|PQ|长度为$\sqrt{{x}^{2}{+（y+4）}^{2}}$+3$\sqrt{2}$=$\sqrt{9-{9y}^{2}{+（y+4）}^{2}}$+3$\sqrt{2}$=$\sqrt{-{8（y-\frac{1}{2}）}^{2}+27}$+3$\sqrt{2}$，
因为-1≤y≤1，所以y=$\frac{1}{2}$时，|PQ|的长度取得最大值为3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$．