题目

在计算机尚末普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.0384，30°54′的正弦值为0.5135，等等．则根据该表，416.5°的余弦值为（　　）0° 6 12` 18` 24` 30` 36 42` 48` 54 60-|||-0° 0.0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175-|||-1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349-|||-2° 0349 0366-|||-0.0000-|||-0175-|||-0349-|||-0017-|||-0192-|||-0366-|||-12`-|||-0035-|||-0209-|||-0384-|||-0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175-|||-0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349-|||-0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523-|||-5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150-|||-31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299-|||-32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446-|||-0.5000-|||-5150-|||-5299-|||-5446-|||-5592-|||-5015-|||-5165-|||-5314-|||-5461-|||-5606-|||-5030-|||-5180-|||-5329-|||-5476-|||-5621-|||-5045-|||-5195-|||-5344-|||-5490-|||-5635-|||-5060-|||-5210-|||-5358-|||-5505-|||-5650-|||-5075-|||-5225-|||-5373-|||-5519-|||-5664-|||-5090-|||-5240-|||-5388-|||-5534-|||-5678-|||-5105-|||-5255-|||-5402-|||-5548-|||-5693-|||-5120-|||-5270-|||-5417-|||-5563-|||-5707-|||-33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592-|||-34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 5736A. 0.5461B. 0.5519C. 0.5505D. 0.5736

在计算机尚末普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.0384，30°54′的正弦值为0.5135，等等．则根据该表，416.5°的余弦值为（　　）菁优网
  • A. 0.5461
  • B. 0.5519
  • C. 0.5505
  • D. 0.5736

题目解答

答案

解：cos416.5°=cos56.5°=sin33.5°=sin33°30′，
查表得sin33°30′=0.5519．
故选：B．

解析

考查要点：本题主要考查三角函数的周期性、余角关系以及查表能力。
解题思路：

  1. 角度化简：利用周期性将超过360°的角度转换为0°~360°内的等效角；
  2. 余弦转正弦：通过余角公式将余弦转化为正弦，便于使用给定的正弦表；
  3. 角度分转换：将小数形式的角度转换为度分表示，精确查找表格中的对应值。

关键点：

  • 周期性：$\cos(416.5^\circ) = \cos(56.5^\circ)$；
  • 余角关系：$\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)$；
  • 角度分转换：$0.5^\circ = 30'$，即$33.5^\circ = 33^\circ 30'$。

步骤1：角度化简

$416.5^\circ$超过$360^\circ$，减去$360^\circ$得等效角：
$416.5^\circ - 360^\circ = 56.5^\circ$
因此，$\cos416.5^\circ = \cos56.5^\circ$。

步骤2：余弦转正弦

利用余角公式：
$\cos56.5^\circ = \sin(90^\circ - 56.5^\circ) = \sin33.5^\circ$

步骤3：角度分转换

将$33.5^\circ$转换为度分形式：
$33.5^\circ = 33^\circ + 0.5^\circ = 33^\circ 30'$

步骤4：查表求值

在表格中找到$33^\circ$行，$30'$列对应的值：

  • $33^\circ$行的数值依次为：5446, 5461, 5476, 5490, 5505, 5519, 5534, 5548, 5563, 5577, 5592
  • $30'$对应第6列，值为5519，即$\sin33^\circ30' = 0.5519$。