iiint_(Omega) z , dv = ( )，其中 Omega 由曲面 x^2 + y^2 + z^2 = 4 与 z = sqrt(x^2 + y^2) 以及柱面 x^2 + y^2 = 2 所围成 (在锥面外的那一部分)。 A. -piB. -2piC. 2piD. pi

考查要点：本题主要考查三重积分在柱坐标系下的计算，涉及空间区域的确定及积分顺序的选择。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：利用柱坐标系，分析球面、锥面及柱面的交线，明确各变量的积分上下限。
2. 简化积分计算：通过柱坐标变换，将三重积分转化为累次积分，分步计算。
3. 对称性应用：利用柱坐标系的对称性简化角度积分。

破题关键点：

• 柱坐标系转换：将直角坐标系转换为柱坐标系，简化积分表达式。
• 积分限确定：通过联立方程找到曲面交线，确定$r$、$z$的积分范围。
• 分步积分：先对$z$积分，再对$r$积分，最后对$\theta$积分，逐步简化计算。

步骤1：确定积分区域

在柱坐标系$(r, \theta, z)$中，积分区域$\Omega$由以下条件确定：

• 角度$\theta$：无方向限制，范围为$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
• 半径$r$：被柱面$x^2 + y^2 = 2$限制，即$0 \leq r \leq \sqrt{2}$。
• 高度$z$：在锥面$z = r$（锥面外）与球面$z = \sqrt{4 - r^2}$之间，即$r \leq z \leq \sqrt{4 - r^2}$。

步骤2：建立积分表达式

三重积分转换为柱坐标系下的累次积分：
$\iiint_{\Omega} z \, dv = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{r}^{\sqrt{4 - r^2}} z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta$

步骤3：对$z$积分

计算内层积分：
$\int_{r}^{\sqrt{4 - r^2}} z \, dz = \left. \frac{z^2}{2} \right|_{r}^{\sqrt{4 - r^2}} = \frac{(4 - r^2)}{2} - \frac{r^2}{2} = 2 - r^2$

步骤4：对$r$积分

将结果代入中间积分：
$\int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - r^2) \cdot r \, dr = \int_{0}^{\sqrt{2}} (2r - r^3) \, dr = \left[ r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2 - 1 = 1$

步骤5：对$\theta$积分

最后对角度积分：
$\int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi$