题目

49. (2.0分) 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 P(X=1,Y=0)=0.3, P(X=2,Y=1)=0.3, P(X=1,Y=1)=0.4, 则 ρ_(XY)=(3)/(7)。 A 对 B 错

49. (2.0分) 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 P(X=1,Y=0)=0.3, P(X=2,Y=1)=0.3, P(X=1,Y=1)=0.4, 则 $ρ_{XY}=\frac{3}{7}$。 A 对 B 错

题目解答

答案

计算相关系数 $\rho_{XY}$ 需要先求出协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 和标准差 $\sigma_X$、$\sigma_Y$。 1. **边缘分布律**： $P(X=1) = 0.7$，$P(X=2) = 0.3$，$P(Y=0) = 0.3$，$P(Y=1) = 0.7$。 2. **期望**： $E(X) = 1.3$，$E(Y) = 0.7$，$E(XY) = 1.0$，$E(X^2) = 1.9$，$E(Y^2) = 0.7$。 3. **协方差与方差**： $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.09$， $\sigma_X^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.21$， $\sigma_Y^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 0.21$。 4. **相关系数**： $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.09}{0.21} = \frac{3}{7}$。 答案：$\boxed{A}$

解析

本题考查二维随机变量相关系数的计算。解题思路是先根据联合分布律求出边缘分布律，再计算随机变量 $X$ 和 $Y$ 的期望 $E(X)$、$E(Y)$、$E(XY)$、$E(X^2)$、$E(Y^2)$，接着利用期望计算协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 和方差 $\sigma_X^2$、$\sigma_Y^2$，最后根据协方差和方差计算相关系数 $\rho_{XY}$。

1. 求边缘分布律

根据联合分布律求边缘分布律：

  • $P(X = 1)=P(X = 1,Y = 0)+P(X = 1,Y = 1)=0.3 + 0.4 = 0.7$
  • $P(X = 2)=P(X = 2,Y = 1)=0.3$
  • $P(Y = 0)=P(X = 1,Y = 0)=0.3$
  • $P(Y = 1)=P(X = 1,Y = 1)+P(X = 2,Y = 1)=0.4 + 0.3 = 0.7$

2. 求期望

  • $E(X)$ 的计算公式为 $E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X = x_{i})$，则 $E(X)=1\times P(X = 1)+2\times P(X = 2)=1\times0.7 + 2\times0.3=0.7 + 0.6 = 1.3$
  • $E(Y)$ 的计算公式为 $E(Y)=\sum_{j}y_{j}P(Y = y_{j})$，则 $E(Y)=0\times P(Y = 0)+1\times P(Y = 1)=0\times0.3 + 1\times0.7 = 0.7$
  • $E(XY)$ 的计算公式为 $E(XY)=\sum_{i}\sum_{j}x_{i}y_{j}P(X = x_{i},Y = y_{j})$，则 $E(XY)=1\times0\times P(X = 1,Y = 0)+1\times1\times P(X = 1,Y = 1)+2\times1\times P(X = 2,Y = 1)=0+0.4 + 0.6 = 1.0$
  • $E(X^2)$ 的计算公式为 $E(X^2)=\sum_{i}x_{i}^{2}P(X = x_{i})$，则 $E(X^2)=1^2\times P(X = 1)+2^2\times P(X = 2)=1\times0.7 + 4\times0.3=0.7 + 1.2 = 1.9$
  • $E(Y^2)$ 的计算公式为 $E(Y^2)=\sum_{j}y_{j}^{2}P(Y = y_{j})$，则 $E(Y^2)=0^2\times P(Y = 0)+1^2\times P(Y = 1)=0\times0.3 + 1\times0.7 = 0.7$

3. 求协方差与方差

  • 协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 的计算公式为 $\text{Cov}(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，将 $E(X)=1.3$，$E(Y)=0.7$，$E(XY)=1.0$ 代入可得：$\text{Cov}(X, Y)=1.0 - 1.3\times0.7=1.0 - 0.91 = 0.09$
  • 方差 $\sigma_X^2$ 的计算公式为 $\sigma_X^2=E(X^2)-[E(X)]^2$，将 $E(X^2)=1.9$，$E(X)=1.3$ 代入可得：$\sigma_X^2=1.9 - 1.3^2=1.9 - 1.69 = 0.21$
  • 方差 $\sigma_Y^2$ 的计算公式为 $\sigma_Y^2=E(Y^2)-[E(Y)]^2$，将 $E(Y^2)=0.7$，$E(Y)=0.7$ 代入可得：$\sigma_Y^2=0.7 - 0.7^2=0.7 - 0.49 = 0.21$

4. 求相关系数

相关系数 $\rho_{XY}$ 的计算公式为 $\rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$，因为 $\sigma_X=\sqrt{\sigma_X^2}=\sqrt{0.21}$，$\sigma_Y=\sqrt{\sigma_Y^2}=\sqrt{0.21}$，所以 $\rho_{XY}=\frac{0.09}{\sqrt{0.21}\times\sqrt{0.21}}=\frac{0.09}{0.21}=\frac{3}{7}$