一批产品由8件正品和2件次品组成。从中任取3件，求这三件产品中恰有一件次品的概率（ ）。A. 3/5B. 8/15C. 7/15D. 2/15

本题考查古典概型概率的计算。解题思路是先确定从$10$件产品中任取$3$件的所有可能取法，即总的基本事件数；再确定取出的$3$件产品中恰有一件次品的取法数，即满足条件的基本事件数；最后根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$所包含的基本事件数）计算出所求概率。

步骤一：计算从$10$件产品中任取$3$件的总取法数

从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
从$10$件产品中任取$3$件，即$n = 10$，$m = 3$，那么总取法数为：
$\begin{align*}C_{10}^3&=\frac{10!}{3!(10 - 3)!}\\&=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}\\& = 120\end{align*}$

步骤二：计算取出的$3$件产品中恰有一件次品的取法数

要使取出的$3$件产品中恰有一件次品，可分两步完成：

• 从$2$件次品中取$1$件，此时$n = 2$，$m = 1$，取法数为$C_{2}^1$，根据组合数公式可得：
  $\begin{align*}C_{2}^1&=\frac{2!}{1!(2 - 1)!}\\&=\frac{2}{1}\\& = 2\end{align*}$
• 从$8$件正品中取$2$件，此时$n = 8$，$m = 2$，取法数为$C_{8}^2$，根据组合数公式可得：
  $\begin{align*}C_{8}^2&=\frac{8!}{2!(8 - 2)!}\\&=\frac{8\times7}{2\times1}\\& = 28\end{align*}$
  根据分步乘法计数原理，完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
  所以取出的$3$件产品中恰有一件次品的取法数为$C_{2}^1\times C_{8}^2 = 2\times28 = 56$。

步骤三：计算所求概率

设“三件产品中恰有一件次品”为事件$A$，由古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n = 120$为总取法数，$m = 56$为恰有一件次品的取法数）可得：
$P(A)=\frac{C_{2}^1\times C_{8}^2}{C_{10}^3}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$