题目

8.不定方程3x+5y=47的正整数解的组数为（） A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组

8.不定方程3x+5y=47的正整数解的组数为（）
A. 2组
B. 3组
C. 4组
D. 5组

题目解答

答案

为了求解不定方程 $3x + 5y = 47$ 的正整数解的组数，我们可以按照以下步骤进行： 1. **将 $y$ 用 $x$ 表示：** \[ 5y = 47 - 3x \] \[ y = \frac{47 - 3x}{5} \] 2. **确定 $x$ 的取值范围：** 由于 $y$ 必须是正整数，因此 $47 - 3x$ 必须是正整数且能被 5 整除。首先， $47 - 3x > 0$，解得： \[ 47 > 3x \] \[ x < \frac{47}{3} \] \[ x < 15.67 \] 因为 $x$ 是正整数，所以 $x$ 的最大值为 15。因此， $x$ 的取值范围是 $1 \leq x \leq 15$。 3. **找出使 $y$ 为正整数的 $x$ 值：** $y = \frac{47 - 3x}{5}$ 必须是整数，即 $47 - 3x$ 必须能被 5 整除。我们可以通过检查 $x$ 的值来确定： - 当 $x = 1$ 时， $47 - 3 \cdot 1 = 44$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 2$ 时， $47 - 3 \cdot 2 = 41$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 3$ 时， $47 - 3 \cdot 3 = 38$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 4$ 时， $47 - 3 \cdot 4 = 35$，能被 5 整除。此时 $y = \frac{35}{5} = 7$。 - 当 $x = 5$ 时， $47 - 3 \cdot 5 = 32$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 6$ 时， $47 - 3 \cdot 6 = 29$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 7$ 时， $47 - 3 \cdot 7 = 26$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 8$ 时， $47 - 3 \cdot 8 = 23$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 9$ 时， $47 - 3 \cdot 9 = 20$，能被 5 整除。此时 $y = \frac{20}{5} = 4$。 - 当 $x = 10$ 时， $47 - 3 \cdot 10 = 17$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 11$ 时， $47 - 3 \cdot 11 = 14$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 12$ 时， $47 - 3 \cdot 12 = 11$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 13$ 时， $47 - 3 \cdot 13 = 8$，不能被 5 整除。 - 当 $x = 14$ 时， $47 - 3 \cdot 14 = 5$，能被 5 整除。此时 $y = \frac{5}{5} = 1$。 - 当 $x = 15$ 时， $47 - 3 \cdot 15 = 2$，不能被 5 整除。因此，使 $y$ 为正整数的 $x$ 值为 $x = 4, 9, 14$。对应的 $y$ 值分别为 $y = 7, 4, 1$。 4. **结论：** 不定方程 $3x + 5y = 47$ 的正整数解的组数为 3 组，即 $(4, 7)$, $(9, 4)$, $(14, 1)$。答案是 $\boxed{B}$。

解析

本题考查不定方程正整数解的求解。解题思路是先将方程变形，用含$x$的式子表示$y$，再根据$y$是正整数这一条件确定$x$的取值范围，最后在取值范围内找出使$y$为正整数的$x$值，从而得到正整数解的组数。

将$y$用$x$表示：
已知不定方程$3x + 5y = 47$，移项可得$5y = 47 - 3x$，两边同时除以$5$，得到$y=\frac{47 - 3x}{5}$。
确定$x$的取值范围：
因为$y$是正整数，所以$y>0$，即$\frac{47 - 3x}{5}>0$。
不等式两边同时乘以$5$，不等号方向不变，得到$47 - 3x>0$。
移项可得$47>3x$，两边同时除以$3$，不等号方向不变，得到$x<\frac{47}{3}\approx15.67$。
又因为$x$是正整数，所以$x$的取值范围是$1\leq x\leq15$。
找出使$y$为正整数的$x$值：
由于$y=\frac{47 - 3x}{5}$必须是整数，所以$47 - 3x$必须能被$5$整除。
依次对$x$从$1$到$15$进行取值检验：
- 当$x = 1$时，$47 - 3\times1 = 44$，$44\div5 = 8\cdots\cdots4$，不能被$5$整除。
- 当$x = 2$时，$47 - 3\times2 = 41$，$41\div5 = 8\cdots\cdots1$，不能被$5$整除。
- 当$x = 3$时，$47 - 3\times3 = 38$，$38\div5 = 7\cdots\cdots3$，不能被$5$整除。
- 当$x = 4$时，$47 - 3\times4 = 35$，$35\div5 = 7$，能被$5$整除，此时$y = 7$。
- 当$x = 5$时，$47 - 3\times5 = 32$，$32\div5 = 6\cdots\cdots2$，不能被$5$整除。
- 当$x = 6$时，$47 - 3\times6 = 29$，$29\div5 = 5\cdots\cdots4$，不能被$5$整除。
- 当$x = 7$时，$47 - 3\times7 = 26$，$26\div5 = 5\cdots\cdots1$，不能被$5$整除。
- 当$x = 8$时，$47 - 3\times8 = 23$，$23\div5 = 4\cdots\cdots3$，不能被$5$整除。
- 当$x = 9$时，$47 - 3\times9 = 20$，$20\div5 = 4$，能被$5$整除，此时$y = 4$。
- 当$x = 10$时，$47 - 3\times10 = 17$，$17\div5 = 3\cdots\cdots2$，不能被$5$整除。
- 当$x = 11$时，$47 - 3\times11 = 14$，$14\div5 = 2\cdots\cdots4$，不能被$5$整除。
- 当$x = 12$时，$47 - 3\times12 = 11$，$11\div5 = 2\cdots\cdots1$，不能被$5$整除。
- 当$x = 13$时，$47 - 3\times13 = 8$，$8\div5 = 1\cdots\cdots3$，不能被$5$整除。
- 当$x = 14$时，$47 - 3\times14 = 5$，$5\div5 = 1$，能被$5$整除，此时$y = 1$。
- 当$x = 15$时，$47 - 3\times15 = 2$，$2\div5 = 0\cdots\cdots2$，不能被$5$整除。
  所以，使$y$为正整数的$x$值为$x = 4$，$9$，$14$，对应的$y$值分别为$y = 7$，$4$，$1$。
得出结论：
不定方程$3x + 5y = 47$的正整数解有$(4, 7)$，$(9, 4)$，$(14, 1)$，共$3$组。