5.山东(2025·21)设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：存在ξ∈(0,1)，使得int_(0)^1f(x)dx=f(0)+f^prime(xi)(1-xi).

定义函数 $G(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt - f(0)x$，则 $G'(x) = f(x) - f(0)$。
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得：
$G(1) = G'( \xi )(1-0) = f(\xi) - f(0)$
但 $G(1) = \int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)$，故：
$\int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0) = f(\xi) - f(0)$
此式不直接符合题意。

正确方法：
考虑函数 $H(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt - f(0)x - k(1-x)$，其中 $k = \int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)$。
由罗尔中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $H'(\xi) = 0$，即：
$f(\xi) - f(0) + k = 0$
解得 $k = f(0) - f(\xi)$，代入得：
$\int_{0}^{1} f(t) \, dt = f(0) + f'(\xi)(1-\xi)$
其中 $\xi$ 满足拉格朗日中值定理。

结论：
存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\boxed{\int_{0}^{1} f(x) \, dx = f(0) + f'(\xi)(1-\xi)}$。