通项为i/k的级数A. 收敛B. 发散

本题考查级数敛散性的判断，解题思路是利用级数收敛的必要条件来判断通项为$\frac{i}{k}$的级数的敛散性。

级数收敛的必要条件为：若级数$\sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}$收敛，则$\lim_{k\rightarrow\infty}a_{k}=0$。其逆否命题为：若$\lim_{k\rightarrow\infty}a_{k}\neq0$，则级数$\sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}$发散。

对于给定的级数，其通项$a_{k}=\frac{i}{k}$，这里$i$为虚数单位，$i^2 = - 1$。我们来求$\lim_{k\rightarrow\infty}a_{k}$，即$\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{i}{k}$。

根据极限的运算法则，对于常数$C$和变量$x$，$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{C}{x}=0$（$C$为常数）。在$\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{i}{k}$中，$i$是常数，$k$是趋于无穷大的变量，所以$\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{i}{k}=i\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}$。

因为$\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}=0$，所以$i\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}=i\times0 = 0$，这里我们发现原思路有误，重新考虑。

实际上，我们可以将级数$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{i}{k}=i\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}$，而$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}$是调和级数，根据调和级数的性质可知$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}$是发散的。

对于一个非零常数$C$和发散级数$\sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}$，级数$C\sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}$也是发散的，因为$i\neq0$，所以$i\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}$即$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{i}{k}$是发散的。