题目

(x,y,z)=(x)^3+4(y)^3+4(z)^2，则(x,y,z)=(x)^3+4(y)^3+4(z)^2（）。(x,y,z)=(x)^3+4(y)^3+4(z)^2(x,y,z)=(x)^3+4(y)^3+4(z)^2(x,y,z)=(x)^3+4(y)^3+4(z)^2(x,y,z)=(x)^3+4(y)^3+4(z)^2

$f(x,y,z)=x^3+4y^3+4z^2$ ，则 $gradf(3,2,1)=$ （）。

$A.3i+6j+8k$

$B.12i+16j+8k$

$C.21i+32j+8k$

$D.27i+48j+8k$

题目解答

答案

对于多元函数 $f\left(x,y,z\right)$ ，其梯度公式为 $gradf=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$ 。因为函数 $f(x,y,z)=x^3+4y^3+4z^2$ ，而多元函数对某一变量求偏导数时，将其余变量当作常数，因此可得 $\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2$ ， $\frac{\partial f}{\partial y}=12y^2$ ， $\frac{\partial f}{\partial z}=8z$ ，即全微分 $gradf=3x^2i+12y^2j+8zk$ ，故 $gradf(3,2,1)=27i+48j+8k$ ，所以答案选择 $D$ 选项。