题目
平面图形由抛物线 ^2=2x 与该曲线在点 (dfrac (1)(2),1) 处的法线所围成,试求:-|||-(1)该平面图形的面积:-|||-(2)该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求法线方程
抛物线 ${y}^{2}=2x$ 在点 $(\dfrac {1}{2},1)$ 处的切线斜率为 $y'=\dfrac{1}{y}$，代入点 $(\dfrac {1}{2},1)$ 得到切线斜率为 $1$。因此，法线斜率为 $-1$，法线方程为 $y-1=-1(x-\dfrac {1}{2})$，即 $y=-x+\dfrac {3}{2}$。
步骤 2：求交点
联立抛物线方程 ${y}^{2}=2x$ 和法线方程 $y=-x+\dfrac {3}{2}$，解得交点为 $(\dfrac {1}{2},1)$ 和 $(\dfrac {9}{2},-3)$。
步骤 3：求面积
面积 $S$ 可以通过积分求得，积分区间为 $y$ 的取值范围，即从 $-3$ 到 $1$。积分表达式为 $S={\int }_{-3}^{1}(\dfrac {3}{2}-y-\dfrac {{y}^{2}}{2})dy$。
步骤 4：求旋转体体积
旋转体体积 $V$ 可以通过积分求得，积分区间为 $x$ 的取值范围，即从 $0$ 到 $\dfrac {9}{2}$。积分表达式为 $V=\pi {\int }_{0}^{\dfrac {9}{2}}2xdx-\pi {\int }_{\dfrac {3}{2}}^{\dfrac {9}{2}}{(-x+\dfrac {3}{2})}^{2}dx$。
抛物线 ${y}^{2}=2x$ 在点 $(\dfrac {1}{2},1)$ 处的切线斜率为 $y'=\dfrac{1}{y}$，代入点 $(\dfrac {1}{2},1)$ 得到切线斜率为 $1$。因此，法线斜率为 $-1$，法线方程为 $y-1=-1(x-\dfrac {1}{2})$，即 $y=-x+\dfrac {3}{2}$。
步骤 2：求交点
联立抛物线方程 ${y}^{2}=2x$ 和法线方程 $y=-x+\dfrac {3}{2}$，解得交点为 $(\dfrac {1}{2},1)$ 和 $(\dfrac {9}{2},-3)$。
步骤 3：求面积
面积 $S$ 可以通过积分求得，积分区间为 $y$ 的取值范围，即从 $-3$ 到 $1$。积分表达式为 $S={\int }_{-3}^{1}(\dfrac {3}{2}-y-\dfrac {{y}^{2}}{2})dy$。
步骤 4：求旋转体体积
旋转体体积 $V$ 可以通过积分求得，积分区间为 $x$ 的取值范围，即从 $0$ 到 $\dfrac {9}{2}$。积分表达式为 $V=\pi {\int }_{0}^{\dfrac {9}{2}}2xdx-\pi {\int }_{\dfrac {3}{2}}^{\dfrac {9}{2}}{(-x+\dfrac {3}{2})}^{2}dx$。