函数 f(x)=e^-x^2 在 (-infty,+infty) 上的单调性是怎样的？A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增

本题考查利用导数研究函数的单调性。解题思路是先对函数求导，再根据导数的正负来判断函数的单调性。

1. 求函数$f(x)=e^{-x^2}$的导数：
   根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u = -x^2$，则$f(u)=e^u$。
   • 先对$f(u)=e^u$关于$u$求导，根据指数函数求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，可得$f^\prime(u)=e^u$。
   • 再对$u = -x^2$关于$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u^\prime = -2x$。
   • 由复合函数求导法则可得$f^\prime(x)=f^\prime(u)\cdot u^\prime=e^{-x^2}\cdot(-2x)= -2xe^{-x^2}$。
2. 根据导数的正负判断函数单调性：
   • 令$f^\prime(x)\gt{}0$，即$-2xe^{-x^2}\gt{}0$。
     因为$e^{-x^2}\gt{}0$恒成立，所以不等式两边同时除以$-2e^{-x^2}$，不等号方向改变，得到$x\lt{}0$。
     这说明当$x\in(-\infty,0)$时，$f^\prime(x)\gt{}0$，函数$f(x)$单调递增。
   • 令$f^\prime(x)\lt{}0$，即$-2xe^{-x^2}\lt{}0$。
     同样因为$e^{-x^2}\gt{}0$恒成立，不等式两边同时除以$-2e^{-x^2}$，不等号方向改变，得到$x\gt{}0$。
     这说明当$x\in(0,+\infty)$时，$f^\prime(x)\lt{}0$，函数$f(x)$单调递减。

综上，函数$f(x)=e^{-x^2}$在$(-\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减，即函数$f(x)$先增后减。