10.设 y=y(x) 由方程组 ^2)(|)_(x=0)

步骤 1：求导数 $\dfrac{dy}{dt}$ 和 $\dfrac{dx}{dt}$
首先，我们对给定的方程组进行求导。对于 $x=3{t}^{2}+2t+3$，我们有：
$$\dfrac{dx}{dt} = 6t + 2$$
对于 ${e}^{y}\sin t-y+1=0$，我们对 $t$ 求导，得到：
$$\dfrac{d}{dt}({e}^{y}\sin t-y+1) = {e}^{y}\cos t \dfrac{dy}{dt} + {e}^{y}\sin t - \dfrac{dy}{dt} = 0$$
整理得到：
$$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{{e}^{y}\sin t}{{e}^{y}\cos t - 1}$$
步骤 2：求 $\dfrac{dy}{dx}$
利用链式法则，我们有：
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{{e}^{y}\sin t}{(6t + 2)({e}^{y}\cos t - 1)}$$
步骤 3：求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$
对 $\dfrac{dy}{dx}$ 再次求导，得到：
$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) \cdot \dfrac{dt}{dx}$$
其中，$\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{1}{6t + 2}$。因此，我们需要计算 $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$，然后乘以 $\dfrac{1}{6t + 2}$。
步骤 4：计算 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 在 $x=0$ 时的值
首先，我们需要找到 $t$ 的值，使得 $x=0$。由 $x=3{t}^{2}+2t+3=0$，解得 $t=-1$。然后，将 $t=-1$ 代入 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 的表达式中，计算其值。